В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен удвоенному углу А, ВН – высота, проведенная к гипотенузе. Найдите отношение АН:СН.
Условие:
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен удвоенному углу А, ВН – высота, проведенная к гипотенузе. Найдите отношение АН:СН.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами прямоугольных треугольников.
Пусть АН = x и СН = y. Тогда, по условию задачи, угол С равен удвоенному углу А. Пусть угол А равен α, тогда угол С равен 2α.
Так как треугольник АВС прямоугольный, то угол В равен 90°. Также из условия задачи следует, что ВН – высота, проведенная к гипотенузе.
Используя свойства прямоугольных треугольников, мы можем записать следующие соотношения:
sin α = x / AB, cos α = y / AB.
Также, по теореме Пифагора, имеем:
AB^2 = x^2 + y^2.
Так как ВН – высота, проведенная к гипотенузе, то она делит треугольник на два подобных треугольника АВН и СНВ. Поэтому отношение АН:СН равно отношению длин сторон АВ:ВС.
Так как АВ – гипотенуза, то АВ = AB. А ВС – катет, поэтому ВС = y.
Таким образом, отношение АН:СН равно x:y.
Итак, мы получили систему уравнений:
sin α = x / AB, cos α = y / AB, AB^2 = x^2 + y^2.
Решая эту систему уравнений, мы найдем значения x и y, и, следовательно, отношение АН:СН.
