Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график. 2 2 2 x x y
Условие:
Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить график. 2 2 2 x x y
Решение:
Для начала, давайте проанализируем данную функцию и определим ее область определения. Функция имеет вид:
y = x^2 - 2/x^2
Область определения функции определяется делением на ноль в знаменателе. Так как в данной функции знаменатель равен x^2, то функция определена для всех значений x, кроме x = 0.
Теперь рассмотрим производную функции, чтобы определить экстремумы и точки перегиба. Для этого возьмем производную функции y по x:
y' = 2x + 4/x^3
Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
2x + 4/x^3 = 0
Умножим обе части уравнения на x^3, чтобы избавиться от знаменателя:
2x^4 + 4 = 0
2x^4 = -4
x^4 = -2
Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений. Следовательно, у данной функции нет точек экстремума.
Чтобы найти точки перегиба, нужно найти вторую производную функции. Возьмем производную от производной:
y'' = 2 - 12/x^4
Чтобы найти точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение:
2 - 12/x^4 = 0
12/x^4 = 2
x^4 = 6
Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то данное уравнение не имеет решений. Следовательно, у данной функции нет точек перегиба.
Теперь построим график функции. Для этого выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения y. Затем построим график, используя эти точки.
x = -2: y = (-2)^2 - 2/(-2)^2 = 4 - 2/4 = 3.5 x = -1: y = (-1)^2 - 2/(-1)^2 = 1 - 2/1 = -1 x = 0.5: y = (0.5)^2 - 2/(0.5)^2 = 0.25 - 2/0.25 = -7.75 x = 1: y = (1)^2 - 2/(1)^2 = 1 - 2/1 = -1 x = 2: y = (2)^2 - 2/(2)^2 = 4 - 2/4 = 3.5
Теперь построим график, используя эти точки:
(2, 3.5) - (1, -1) - (0.5, -7.75) - (-1, -1) - (-2, 3.5)
График функции будет иметь форму параболы, открытой вверх, с вершиной в точке (0, -1) и асимптотами x = 0 и y = 0.
Надеюсь, эта информация поможет вам исследовать функцию и построить ее график. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
