Чему равна вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 1, примет значение из интервала (0,3, 3,5) не менее двух раз в трех независимых испытаниях.
Для решения этой задачи нам понадобится использовать нормальное распределение.
Известно, что нормальное распределение полностью описывается двумя параметрами: математическим ожиданием (μ) и дисперсией (σ^2). В данном случае, μ = 3 и σ^2 = 1.
Чтобы найти вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (0,3, 3,5) не менее двух раз в трех независимых испытаниях, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.
Пусть X - количество раз, когда случайная величина принимает значение из интервала (0,3, 3,5) в трех независимых испытаниях. Тогда X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 3 (количество испытаний) и p (вероятность успеха в одном испытании).
Вероятность успеха в одном испытании можно найти, используя нормальное распределение. Для этого нам нужно найти вероятность того, что случайная величина будет находиться в интервале (0,3, 3,5).
Затем мы можем использовать формулу для биномиального распределения, чтобы найти вероятность того, что X будет равно 2 или больше.
Давайте начнем с расчета вероятности успеха в одном испытании:
P(0,3 < X < 3,5) = P(X < 3,5) - P(X < 0,3)
Для этого нам понадобится стандартизировать значения 0,3 и 3,5, используя формулу стандартного нормального распределения:
Z = (X - μ) / σ
где Z - стандартизированное значение, X - значение случайной величины, μ - математическое ожидание, σ - стандартное отклонение.
Стандартизированные значения для 0,3 и 3,5:
Z1 = (0,3 - 3) / 1 = -2,7
Z2 = (3,5 - 3) / 1 = 0,5
Теперь мы можем использовать таблицу стандартного нормального распределения или калькулятор, чтобы найти соответствующие вероятности:
P(X < 3,5) = P(Z < 0,5) = 0,6915
P(X < 0,3) = P(Z < -2,7) = 0,0035
Теперь мы можем найти вероятность успеха в одном испытании:
P(0,3 < X < 3,5) = P(X < 3,5) - P(X < 0,3) = 0,6915 - 0,0035 = 0,688
Теперь мы можем использовать формулу для биномиального распределения:
P(X >= 2) = 1 - P(X < 2)
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)
P(X = 0) = (1 - p)^3
P(X = 1) = 3 * p * (1 - p)^2
Так как нам нужно найти вероятность, что X будет равно 2 или больше, мы можем вычислить:
P(X >= 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
Теперь мы можем решить уравнение, используя найденные значения:
P(X >= 2) = 1 - ((1 - p)^3 + 3 * p * (1 - p)^2)
Таким образом, мы можем найти вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и дисперсией, равной 1, примет значение из интервала (0,3, 3,5) не менее двух раз в трех независимых испытаниях.
