По каналу связи передаются два сообщения. Если послано сообщение А, то с вероятностью 0.9 принимается сигнал 1 s и с вероятностью 0.1 – сигн...
Условие:
По каналу связи передаются два сообщения. Если послано сообщение А, то с вероятностью 0.9 принимается сигнал 1 s и с вероятностью 0.1 – сигнал 2 s . При посылке сообщения В сигнал 1 s принимается с вероятностью 0.2, а сигнал 2 s – с вероятностью 0.8. а) Зафиксирован сигнал 1 s . Какова вероятность того, что было послано сообщение А? б) Решающее пра
Решение:
а) Чтобы найти вероятность того, что было послано сообщение А при зафиксированном сигнале 1s, мы можем использовать формулу условной вероятности:
P(А|1s) = P(А и 1s) / P(1s)
Вероятность P(А и 1s) можно найти, умножив вероятность послать сообщение А (0.5) на вероятность принять сигнал 1s при посланном сообщении А (0.9):
P(А и 1s) = 0.5 * 0.9 = 0.45
Вероятность P(1s) можно найти, сложив вероятность послать сообщение А и принять сигнал 1s (0.5 * 0.9) с вероятностью послать сообщение В и принять сигнал 1s (0.5 * 0.2):
P(1s) = 0.5 * 0.9 + 0.5 * 0.2 = 0.45 + 0.1 = 0.55
Теперь мы можем найти вероятность P(А|1s):
P(А|1s) = 0.45 / 0.55 ≈ 0.818
Таким образом, вероятность того, что было послано сообщение А при зафиксированном сигнале 1s, составляет около 0.818 или 81.8%.
б) Для решения второй части задачи нам необходимо использовать решающее правило максимальной апостериорной вероятности (MAP).
MAP говорит нам, что мы должны выбрать ту гипотезу, для которой апостериорная вероятность максимальна. В данном случае у нас есть две гипотезы: А и В.
Для гипотезы А, апостериорная вероятность будет равна:
P(А|1s) = 0.818
Для гипотезы В, апостериорная вероятность будет равна:
P(В|1s) = P(В и 1s) / P(1s)
Вероятность P(В и 1s) можно найти, умножив вероятность послать сообщение В (0.5) на вероятность принять сигнал 1s при посланном сообщении В (0.2):
P(В и 1s) = 0.5 * 0.2 = 0.1
Вероятность P(1s) мы уже нашли в предыдущем пункте и она равна 0.55.
Теперь мы можем найти вероятность P(В|1s):
P(В|1s) = 0.1 / 0.55 ≈ 0.182
Таким образом, апостериорная вероятность для гипотезы А составляет около 0.818 или 81.8%, а для гипотезы В - около 0.182 или 18.2%.
Исходя из решающего правила MAP, мы выбираем гипотезу, для которой апостериорная вероятность максимальна. В данном случае, это гипотеза А, так как ее апостериорная вероятность выше.
