Пусть X , Y – объемы производства товаров. Кривая производственных возможностей описывается уравнением: Х^(2 )+ Y^(2 )=450. Функция ...
Условие:
Пусть X , Y – объемы производства товаров. Кривая производственных возможностей описывается уравнением: Х^(2 )+ Y^(2 )=450. Функция полезности в обществе: U= XY. Определите оптимальный объем производства товаров.
Решение:
Для определения оптимального объема производства товаров, нужно найти максимум функции полезности U = XY при заданном ограничении на производственные возможности.
Для этого воспользуемся методом Лагранжа. Пусть L(X, Y, λ) = XY + λ(Х^2 + Y^2 - 450) - функция Лагранжа, где λ - множитель Лагранжа.
Для нахождения максимума функции полезности, найдем частные производные функции Лагранжа по X, Y и λ и приравняем их к нулю:
∂L/∂X = Y + 2λX = 0 ∂L/∂Y = X + 2λY = 0 ∂L/∂λ = X^2 + Y^2 - 450 = 0
Решим эту систему уравнений:
Из первого уравнения получаем: Y = -2λX Подставим это во второе уравнение: X + 2λ(-2λX) = 0 X - 4λ^2X = 0 X(1 - 4λ^2) = 0
Так как X ≠ 0, то 1 - 4λ^2 = 0 4λ^2 = 1 λ^2 = 1/4 λ = ±1/2
Если λ = 1/2, то Y = -2(1/2)X = -X Подставим это в третье уравнение: X^2 + (-X)^2 = 450 2X^2 = 450 X^2 = 225 X = ±15
Если λ = -1/2, то Y = -2(-1/2)X = X Подставим это в третье уравнение: X^2 + X^2 = 450 2X^2 = 450 X^2 = 225 X = ±15
Таким образом, получаем четыре возможных оптимальных объема производства товаров: (15, -15), (-15, 15), (-15, -15), (15, 15).
Однако, чтобы определить, какой из этих вариантов является действительно оптимальным, необходимо провести дополнительный анализ, учитывая другие факторы, такие как стоимость производства, спрос на товары и т.д.
