Проверить сходимость заданного количества строк 3/1+9/2+27/6+81/24+⋯
Условие:
Проверить сходимость заданного количества строк 3/1+9/2+27/6+81/24+⋯
Решение:
Для проверки сходимости данного ряда, мы можем использовать тест на сходимость дробей или тест на сходимость дифференцирования.
Для начала, давайте преобразуем данную последовательность в более удобную форму. Заметим, что каждый элемент ряда можно представить в виде (3^n)/(2^n * n!), где n - номер элемента в ряду.
Теперь мы можем применить тест на сходимость дробей. Для этого нам нужно рассмотреть предел отношения (a(n+1)/a(n)), где a(n) - n-й элемент ряда.
(a(n+1)/a(n)) = ((3^(n+1))/(2^(n+1) * (n+1)!)) / ((3^n)/(2^n * n!)) = (3^(n+1) * 2^n * n!) / (2^(n+1) * (n+1) * 3^n) = (3 * n!) / (2 * (n+1))
Теперь мы можем рассмотреть предел этого отношения при n стремящемся к бесконечности:
lim(n->∞) ((3 * n!) / (2 * (n+1))) = lim(n->∞) ((3 * n!) / (2n + 2)) = lim(n->∞) ((3 * (n-1)!) / 2) = ∞
Таким образом, предел отношения (a(n+1)/a(n)) равен бесконечности. Это означает, что ряд расходится.
Таким образом, данная последовательность не сходится.
