Катушка, состоящая из внутреннего цилиндра радиуса r=13 мм и боковых колёс радиуса R=29 мм, может вращаться вокруг горизонтальной оси, прохо...
Условие:
Катушка, состоящая из внутреннего цилиндра радиуса r=13 мм и боковых колёс радиуса R=29 мм, может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку O. На внутренний цилиндр намотана тонкая нерастяжимая лента, вертикальный конец которой закреплён на полу в точке A. Ось катушки поднимают вертикально вверх. Считая, что лента натянута и не скользит по катушке, найдите отношение x=VB/VC где VB и VC — мгновенные скорости точек B и C, лежащих на концах горизонтального и вертикального диаметров одного из «колёс». Ответ округлите до десятых.
Решение:
Для решения этой задачи, нам необходимо использовать закон сохранения момента импульса.
Момент импульса системы остается постоянным, когда ось вращения не меняется. В данном случае, ось вращения проходит через точку O, поэтому момент импульса системы остается постоянным.
Момент импульса системы можно выразить как произведение момента инерции и угловой скорости:
L = I * ω
Где L - момент импульса, I - момент инерции, ω - угловая скорость.
Момент инерции цилиндра можно выразить как:
I = 1/2 * m * R^2
Где m - масса цилиндра, R - радиус колеса.
Так как лента нерастяжима и натянута, скорость точек B и C должна быть одинаковой. Поэтому, VB = VC = v.
Также, из геометрических соображений, можно заметить, что радиусы колес и расстояние между точками B и C образуют прямоугольный треугольник. Расстояние между точками B и C можно выразить как:
d = 2 * R
Теперь мы можем записать уравнение сохранения момента импульса:
I * ω = I * ω'
Где ω' - угловая скорость после поднятия оси катушки.
Подставляя значения момента инерции и угловой скорости, получаем:
1/2 * m * R^2 * ω = 1/2 * m * R^2 * ω'
Сокращая массу и радиус, получаем:
ω = ω'
Таким образом, угловая скорость остается постоянной.
Теперь мы можем выразить скорость точек B и C через угловую скорость:
v = ω * R
Так как VB = VC = v, получаем:
VB = VC = ω * R
Теперь мы можем выразить отношение x = VB / VC:
x = (ω * R) / (ω * R) = 1
Ответ: x = 1.