3 Две материальные точки движутся согласно уравнениям: X₁=A₁t+B₁t+Ct³; x2=A2t+B2t²+C2t³, где А₁=4 м/с, В₁=8 м/с², С₁=-16 м/с³; А2=2 м/с, В2-...
Условие:
3 Две материальные точки движутся согласно уравнениям: X₁=A₁t+B₁t+Ct³; x2=A2t+B2t²+C2t³, где А₁=4 м/с, В₁=8 м/с², С₁=-16 м/с³; А2=2 м/с, В2--4 м/с², С2=1 м/с³. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент. Найти среднюю скорость второй материальной точки за промежуток времени с момента начала дви
Решение:
Для того чтобы найти момент времени, когда ускорения двух точек будут одинаковыми, необходимо приравнять их ускорения и решить полученное уравнение относительно времени.
Ускорение первой точки (a₁) можно найти, взяв вторую производную от уравнения x₁(t):
a₁ = d²x₁/dt² = 2B₁ + 6C₁t
Ускорение второй точки (a₂) можно найти, взяв вторую производную от уравнения x₂(t):
a₂ = d²x₂/dt² = 2B₂ + 6C₂t
Приравняем ускорения и решим уравнение:
2B₁ + 6C₁t = 2B₂ + 6C₂t
2B₁ - 2B₂ = 6C₂t - 6C₁t
2(B₁ - B₂) = 6(t(C₂ - C₁))
t = (2(B₁ - B₂))/(6(C₂ - C₁))
Подставим значения коэффициентов:
t = (2(8 - (-4)))/(6(-16 - 1)) t = (2(12))/(6(-17)) t = 24/(-102) t ≈ -0.235 сек
Таким образом, ускорения двух точек будут одинаковыми примерно через -0.235 секунды.
Чтобы найти скорости точек в этот момент, подставим найденное значение времени в уравнения для скоростей:
Для первой точки: v₁ = dx₁/dt = A₁ + B₁t + C₁t² v₁ = 4 + 8(-0.235) - 16(-0.235)² v₁ ≈ 4 - 1.88 + 0.82 v₁ ≈ 2.94 м/с
Для второй точки: v₂ = dx₂/dt = A₂ + B₂t + C₂t² v₂ = 2 + (-4)(-0.235) + 1(-0.235)² v₂ ≈ 2 + 0.94 + 0.05 v₂ ≈ 2.99 м/с
Таким образом, скорости точек в момент времени, когда их ускорения одинаковы, составляют примерно 2.94 м/с и 2.99 м/с соответственно.
Чтобы найти среднюю скорость второй материальной точки за промежуток времени с момента начала движения до момента, когда ускорения точек одинаковы, нужно найти разность координат в эти моменты и разделить ее на время:
Δx₂ = x₂(t) - x₂(0) Δx₂ = (A₂t + B₂t² + C₂t³) - (A₂(0) + B₂(0)² + C₂(0)³) Δx₂ = A₂t + B₂t² + C₂t³
Средняя скорость v₂ считается как отношение Δx₂ к времени t:
v₂ = Δx₂ / t
Подставим значения:
v₂ = (A₂t + B₂t² + C₂t³) / t v₂ = A₂ + B₂t + C₂t²
Подставим значения коэффициентов:
v₂ = 2 + (-4)(-0.235) + 1(-0.235)² v₂ ≈ 2 + 0.94 + 0.05 v₂ ≈ 2.99 м/с
Таким образом, средняя скорость второй материальной точки за промежуток времени с момента начала движения до момента, когда ускорения точек одинаковы, составляет примерно 2.99 м/с.