В треугольнике ВС радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен 4 см, СЕ: ВС = 3 : 1, ∠С = 30°, К – точка пересечения бисс...
Условие:
В треугольнике ВС радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, равен 4 см, СЕ: ВС = 3 : 1, ∠С = 30°, К – точка пересечения биссектрисы СК со стороной ВЕ. Найдите стороны треугольника. BC/sin(∠E)=CE/sin(∠B)=BE/sin(∠C)=2R
Решение:
Для начала, найдем угол B. Используя теорему синусов, мы можем записать:
BC/sin(∠E) = CE/sin(∠B)
Заметим, что ∠E = 180° - ∠C, так как сумма углов треугольника равна 180°. Подставим это значение:
BC/sin(180° - ∠C) = CE/sin(∠B)
Также, известно, что CE:BC = 3:1. Подставим это значение:
BC/sin(180° - ∠C) = (3/1)BC/sin(∠B)
Упростим выражение:
1/sin(180° - ∠C) = 3/sin(∠B)
Так как sin(180° - ∠C) = sin(∠C), получим:
1/sin(∠C) = 3/sin(∠B)
Теперь, зная, что ∠C = 30°, мы можем решить это уравнение:
1/sin(30°) = 3/sin(∠B)
sin(30°) = 3sin(∠B)
1/2 = 3sin(∠B)
sin(∠B) = 1/6
Теперь мы можем найти ∠B, используя обратную функцию синуса:
∠B = arcsin(1/6)
∠B ≈ 9.59°
Теперь, используя теорему синусов, мы можем найти стороны треугольника:
BC/sin(∠E) = 2R
BC/sin(180° - ∠C) = 2R
BC/sin(150°) = 2R
BC/(√3/2) = 2R
BC = (2R)(√3/2)
BC = R√3
Таким образом, сторона BC равна R√3.
Также, мы можем найти сторону CE, используя отношение CE:BC = 3:1:
CE = (3/1)BC
CE = 3R√3
И, наконец, сторона BE равна сумме BC и CE:
BE = BC + CE
BE = R√3 + 3R√3
BE = 4R√3
Таким образом, сторона BE равна 4R√3.
