Определить возрастающая или убывающая последовательность Последовательность zn =-4n2 Последовательность yn =3n Последовательность yn = 1/3 n...
Условие:
Определить возрастающая или убывающая последовательность Последовательность zn =-4n2 Последовательность yn =3n Последовательность yn = 1/3 n2 Последовательность yn =4n2 Последовательность zn = -3n2 Последовательность zn =-1/3n2 Последовательность zn =-4n2
Решение:
Для определения, является ли последовательность возрастающей или убывающей, нужно проанализировать знак разности соседних членов последовательности.
-
Последовательность zn = -4n^2: Разность соседних членов: zn+1 - zn = -4(n+1)^2 - (-4n^2) = -4(n^2 + 2n + 1) + 4n^2 = -4n^2 - 8n - 4 + 4n^2 = -8n - 4. Знак разности зависит от значения n. Если n > -0.5, то разность отрицательна, а если n < -0.5, то разность положительна. Таким образом, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
-
Последовательность yn = 3n: Разность соседних членов: yn+1 - yn = 3(n+1) - 3n = 3n + 3 - 3n = 3. Разность всегда положительна, поэтому последовательность является возрастающей.
-
Последовательность yn = 1/3 n^2: Разность соседних членов: yn+1 - yn = (1/3)(n+1)^2 - (1/3)n^2 = (1/3)(n^2 + 2n + 1) - (1/3)n^2 = (1/3)n^2 + (2/3)n + (1/3) - (1/3)n^2 = (2/3)n + (1/3). Разность всегда положительна, поэтому последовательность является возрастающей.
-
Последовательность yn = 4n^2: Разность соседних членов: yn+1 - yn = 4(n+1)^2 - 4n^2 = 4(n^2 + 2n + 1) - 4n^2 = 4n^2 + 8n + 4 - 4n^2 = 8n + 4. Разность всегда положительна, поэтому последовательность является возрастающей.
-
Последовательность zn = -3n^2: Разность соседних членов: zn+1 - zn = -3(n+1)^2 - (-3n^2) = -3(n^2 + 2n + 1) + 3n^2 = -3n^2 - 6n - 3 + 3n^2 = -6n - 3. Знак разности зависит от значения n. Если n > -0.5, то разность отрицательна, а если n < -0.5, то разность положительна. Таким образом, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
-
Последовательность zn = -1/3n^2: Разность соседних членов: zn+1 - zn = (-1/3)(n+1)^2 - (-1/3)n^2 = (-1/3)(n^2 + 2n + 1) + (1/3)n^2 = (-1/3)n^2 - (2/3)n - (1/3) + (1/3)n^2 = (-2/3)n - (1/3). Разность всегда отрицательна, поэтому последовательность является убывающей.
-
Последовательность zn = -4n^2: Разность соседних членов: zn+1 - zn = -4(n+1)^2 - (-4n^2) = -4(n^2 + 2n + 1) + 4n^2 = -4n^2 - 8n - 4 + 4n^2 = -8n - 4. Знак разности зависит от значения n. Если n > -0.5, то разность отрицательна, а если n < -0.5, то разность положительна. Таким образом, последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.
Итак, из данных последовательностей только yn = 3n и yn = 1/3 n^2 являются возрастающими, остальные последовательности не являются ни возрастающими, ни убывающими.
