В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Вокруг треугольника АВС описана окружность, которую биссектриса АК пересекает в точке D. Доказа...

Для доказательства неравенства AD > AB + AC/2 воспользуемся неравенством треугольника.

Известно, что в треугольнике ABC биссектриса AK делит сторону BC на отрезки BK и KC в пропорции, соответствующей отношению длин смежных сторон AB и AC. То есть, AB/AC = BK/KC.

Также известно, что точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC. Значит, угол BDC является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках B и C. То есть, угол BDC = 2 * угол BAC.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике угол BAD является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках B и C. То есть, угол BAD = угол BAC + угол ABC.

Таким образом, угол BDC = 2 * угол BAD.

Теперь применим неравенство треугольника к треугольнику ABD:

AD > AB + BD.

Заметим, что BD является дугой BC на описанной окружности, а значит, ее длина равна углу BDC, умноженному на радиус окружности.

Так как угол BDC = 2 * угол BAD, то BD = 2 * угол BAD * R, где R - радиус описанной окружности.

Таким образом, AD > AB + 2 * угол BAD * R.

Но мы знаем, что угол BAD = угол BAC + угол ABC, поэтому:

AD > AB + 2 * (угол BAC + угол ABC) * R.

Теперь заметим, что угол ABC является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках A и C. То есть, угол ABC = угол BAC + угол ACB.

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 2 * (угол BAC + (угол BAC + угол ACB)) * R.

Упростим:

AD > AB + 2 * (2 * угол BAC + угол ACB) * R.

Теперь заметим, что угол ACB является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках A и B. То есть, угол ACB = угол BAC + угол ABC.

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 2 * (2 * угол BAC + (угол BAC + угол ABC)) * R.

Упростим:

AD > AB + 2 * (3 * угол BAC + угол ABC) *...