В остроугольный треугольник ABC вписана окружность w с центром в точке I. Она качается стороны BC в точке H, а прямая HI пересекает сторону ...
Условие:
В остроугольный треугольник ABC вписана окружность w с центром в точке I. Она качается стороны BC в точке H, а прямая HI пересекает сторону AC в токе K. Периметр ABC = 22. Проведены высоты AA1, BB1, отрезок A1B1 касательная к окружности w. Найти CK
Решение:
Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые свойства остроугольных треугольников и окружностей.
-
Свойство остроугольного треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусов.
-
Свойство остроугольного треугольника: сумма углов при основании равна 180 градусов.
-
Свойство окружности, касающейся стороны треугольника: точка касания, точка касания и вершина треугольника лежат на одной прямой, и угол между касательной и стороной треугольника равен углу между касательной и радиусом окружности.
-
Свойство остроугольного треугольника: сумма углов при основании и угла между основанием и высотой равна 180 градусов.
Теперь приступим к решению задачи.
Пусть CK = x. Так как треугольник ABC остроугольный, то угол BAC острый. Поэтому угол BAC + угол ABC + угол BCA = 180 градусов.
Угол BAC и угол BCA являются углами при основании треугольника ABC, поэтому их сумма равна 180 градусов. Таким образом, угол ABC = 180 - угол BAC - угол BCA.
Также, угол BAC и угол ABC являются углами между основанием и высотой треугольника ABC, поэтому их сумма равна 180 градусов. Таким образом, угол BAC + угол ABC = 180 градусов.
Из этих двух уравнений получаем: 180 - угол BAC - угол BCA + угол BAC = 180 градусов.
Угол BAC и угол BCA сокращаются, и мы получаем: угол BAC = угол BCA.
Так как угол BAC и угол BCA равны, то треугольник ABC является равнобедренным треугольником.
Также, так как треугольник ABC...
