В колебательный контур с добротностью Q=100 � = 100 включены последовательно источник синусоидальной э. д. с. с постоянной амплитудой напряж...
Условие:
В колебательный контур с добротностью Q=100 � = 100 включены последовательно источник синусоидальной э. д. с. с постоянной амплитудой напряжения. При некоторой частоте внешнего напряжения тепловая мощность, выделяемая в контуре, оказывается максимальной. На сколько процентов следует изменить эту частоту, чтобы выделяемая мощность уменьшилась в n=2,
Решение:
Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для выделяемой мощности в колебательном контуре:
P = I^2 * R,
где P - выделяемая мощность, I - ток в контуре, R - сопротивление контура.
Добротность Q колебательного контура определяется как отношение реактивного сопротивления к активному сопротивлению:
Q = X/R,
где X - реактивное сопротивление.
В данном случае, так как контур последовательный, сопротивление контура можно представить как сумму активного сопротивления R и реактивного сопротивления X:
Z = R + jX,
где Z - импеданс контура.
Тепловая мощность в контуре максимальна при резонансе, когда реактивное сопротивление X равно нулю. То есть, при резонансе импеданс контура будет равен активному сопротивлению R.
Теперь, чтобы найти на сколько процентов следует изменить частоту, чтобы выделяемая мощность уменьшилась в n=2 раза, мы можем использовать следующую формулу:
P2 = P1 / n,
где P1 - исходная выделяемая мощность, P2 - новая выделяемая мощность, n - коэффициент изменения мощности.
Так как мощность пропорциональна квадрату тока, мы можем записать:
I2^2 * R = (I1^2 * R) / n,
где I1 - исходный ток, I2 - новый ток.
Так как сопротивление контура R остается неизменным, мы можем сократить его:
I2^2 = I1^2 / n.
Так как ток пропорционален напряжению, мы можем записать:
I2 = I1 / sqrt(n).
Теперь мы можем использовать формулу для реактивного сопротивления X:
X = Q * R.
Так как добротность Q остается неизменной, мы можем записать:
X2 = X1.
Так как реактивное сопротивление пропорционально частоте, мы можем записать:
X2 = X1 * (f2 / f1),
где f1 - исходная частота, f2 - новая частота.
Теперь мы можем объединить все уравнения:
X1 * (f2 / f1) = Q * R.
Так как X1 = Q * R, мы можем записать:
Q * R * (f2 / f1) = Q * R.
Теперь мы можем сократить R:
Q * (f2 / f1) = Q.
Теперь мы можем сократить Q:
f2 / f1 = 1.
Таким образом, чтобы выделяемая мощность уменьшилась в два раза, необходимо изменить частоту на 100 процентов.
