В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Вокруг треугольника АВС описана окружность, которую биссектриса АК пересекает в точке D. Доказать AD > AB+ AC/2
Для доказательства неравенства AD > AB + AC/2 воспользуемся неравенством треугольника.
Известно, что в треугольнике ABC биссектриса AK делит сторону BC на отрезки BK и KC в пропорции, соответствующей отношению длин смежных сторон AB и AC. То есть, AB/AC = BK/KC.
Также известно, что точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC. Значит, угол BDC является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках B и C. То есть, угол BDC = 2 * угол BAC.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике угол BAD является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках B и C. То есть, угол BAD = угол BAC + угол ABC.
Таким образом, угол BDC = 2 * угол BAD.
Теперь применим неравенство треугольника к треугольнику ABD:
AD > AB + BD.
Заметим, что BD является дугой BC на описанной окружности, а значит, ее длина равна углу BDC, умноженному на радиус окружности.
Так как угол BDC = 2 * угол BAD, то BD = 2 * угол BAD * R, где R - радиус описанной окружности.
Таким образом, AD > AB + 2 * угол BAD * R.
Но мы знаем, что угол BAD = угол BAC + угол ABC, поэтому:
AD > AB + 2 * (угол BAC + угол ABC) * R.
Теперь заметим, что угол ABC является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках A и C. То есть, угол ABC = угол BAC + угол ACB.
Подставим это в неравенство:
AD > AB + 2 * (угол BAC + (угол BAC + угол ACB)) * R.
Упростим:
AD > AB + 2 * (2 * угол BAC + угол ACB) * R.
Теперь заметим, что угол ACB является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках A и B. То есть, угол ACB = угол BAC + угол ABC.
Подставим это в неравенство:
AD > AB + 2 * (2 * угол BAC + (угол BAC + угол ABC)) * R.
Упростим:
AD > AB + 2 * (3 * угол BAC + угол ABC) *...
