каковы бы ни были произвольные натуральные числа m,n,k, существует натуральное число N такое, что (sqrt(m+n) - sqrt(m))^k = sqrt(N+n^k) - sqrt(N)
доказать существование натурального N , используя математическую индукцию
Для доказательства существования натурального числа N, удовлетворяющего условию, воспользуемся методом математической индукции.
Шаг базы индукции:
При k = 1, левая часть равенства принимает вид sqrt(m+n) - sqrt(m), а правая часть - sqrt(N+n) - sqrt(N). Для того чтобы обе части равенства были равны, можно выбрать N = m. Таким образом, база индукции выполняется.
Шаг индукции:
Предположим, что для некоторого k = p, где p - натуральное число, существует натуральное число N, удовлетворяющее условию. То есть, (sqrt(m+n) - sqrt(m))^p = sqrt(N+n^p) - sqrt(N).
Докажем, что при k = p + 1 также существует натуральное число N, удовлетворяющее условию.
Рассмотрим левую часть равенства при k = p + 1:
(sqrt(m+n) - sqrt(m))^(p+1) = (sqrt(m+n) - sqrt(m))^p * (sqrt(m+n) - sqrt(m))
Раскроем скобки:
(sqrt(m+n) - sqrt(m))^p * (sqrt(m+n) - sqrt(m)) = (sqrt(N+n^p) - sqrt(N)) * (sqrt(m+n) - sqrt(m))
Применим формулу разности...
