Задание 1. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3; 4)объем пирамиды; 5) уравнения прямых А1А2 и А1А3; 6) уравнения плоскостей А1А2А3 и А1А2А4; 7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4.
по этим данным А1 (0;2;-1), А2 (–1;2;3), А3 (–2;3;7), А4 (0;4;1).
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулы и методы геометрии.
1) Длины ребер А1А2 и А1А3 можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
Длина ребра А1А2 = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
Длина ребра А1А3 = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2)
Подставляя значения координат вершин, получаем:
Длина ребра А1А2 = √((-1 - 0)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2) = √(1^2 + 0^2 + 4^2) = √17
Длина ребра А1А3 = √((-2 - 0)^2 + (3 - 2)^2 + (7 - (-1))^2) = √(2^2 + 1^2 + 8^2) = √69
2) Угол между ребрами А1А2 и А1А3 можно найти с помощью формулы косинуса угла между векторами:
cos(θ) = (A1А2 * A1А3) / (|A1А2| * |A1А3|)
где A1А2 и A1А3 - векторы, |A1А2| и |A1А3| - длины этих векторов.
Подставляя значения, получаем:
cos(θ) = ((-1 - 0) * (-2 - 0) + (2 - 2) * (3 - 2) + (3 - (-1)) * (7 - (-1))) / (√17 * √69)
cos(θ) = (-2 * -2 + 0 * 1 + 4 * 8) / (√17 * √69)
cos(θ) = (4 + 0 + 32) / (√17 * √69)
cos(θ) = 36 / (√17 * √69)
θ = arccos(36 / (√17 * √69))
3) Площадь грани А1А2А3 можно найти с помощью формулы площади треугольника в трехмерном пространстве:
Площадь грани = 0.5 * |A1А2 x A1А3|
где A1А2 и A1А3 - векторы, x - векторное произведение.
Подставляя значения, получаем:
Площадь грани = 0.5 * |((-1 - 0) * (7 - (-1)) - (3 - (-1)) * (-2 - 0), (3 - 2) * (-2 - 0) - (-1 - 0) * (-2 - 0), (-1 - 0) * (3 - 2) - (2 - 2) * (-2 - 0))|
Площадь грани = 0.5 * |(-8 - 8, -2 - 0, -1 - 0)|
Площадь грани = 0.5 * |(-16, -2, -1)|
Площадь грани = 0.5 * √((-16)^2 + (-2)^2 + (-1)^2)
Площадь грани = 0.5 * √(256 + 4 + 1)
Площадь грани = 0.5 * √261
4) Объем пирамиды можно найти с помощью формулы объема пирамиды:
Объем пирамиды = (1/6) * |A1А2 * (A1А3 x A1А4)|
где...
