Для оценки среднего дохода жителей города вычисляют средний доход некоторого количества случайно выбранных жителей. Используя неравенство Чебышёва, оцените минимальное количество выбранных жителей, необходимое для того, чтобы с вероятностью не менее 0.99 полученное значение отличалось от истинного среднего дохода не более чем на 1000 руб., если из предыдущих подобных исследований известно, что среднеквадратичное отклонение дохода не превышает 5000 руб. Оценка минимального количества выбранных
Для оценки минимального количества выбранных жителей, необходимых для достижения заданной точности, мы можем использовать неравенство Чебышёва.
Неравенство Чебышёва гласит, что для любого случайного события X с конечным средним значением μ и дисперсией σ^2, вероятность того, что X отклоняется от своего среднего значения на расстояние, большее чем k стандартных отклонений, не превышает 1/k^2.
В данном случае, мы хотим, чтобы разница между выборочным средним доходом и истинным средним доходом не превышала 1000 рублей с вероятностью не менее 0.99. Таким образом, мы можем записать неравенство Чебышёва следующим образом:
P(|X - μ| < 1000) ≥ 0.99
где X - выборочное среднее дохода, μ - истинное среднее дохода.
Также известно, что среднеквадратичное отклонение дохода не превышает 5000 рублей, то есть σ = 5000.
Используя неравенство Чебышёва, мы можем записать:
P(|X - μ| < 1000) ≥ 1 - (σ^2 / k^2)
Подставляя известные значения, получаем:
0.99 ≥ 1 - (5000^2 / k^2)
Решая это неравенство относительно k, получаем:
(5000^2 / k^2) ≥ 0.01
k^2 ≥ (5000^2 / 0.01)
k^2 ≥ 5000^2 * 100
k^2 ≥ 250000000
k ≥ √250000000
k ≥ 15811.39
Таким образом, минимальное количество выбранных жителей, необходимых для того, чтобы с вероятностью не менее 0.99 полученное значение отличалось от истинного среднего дохода не более чем на 1000 рублей, составляет около 15812 человек.
