Каждый абонент занимает линию, по которой в среднем осуществляется 240 разговоров в час, в среднем 1/40 часа. Найти минимальное число линий,...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать формулу Эрланга-Б для расчета вероятности отказа в телефонной системе.
Формула Эрланга-Б выглядит следующим образом:
P = (A^N / N!) / (Σ(A^k / k!) + (A^N / N!))
где: P - вероятность отказа A - интенсивность трафика (среднее число звонков в единицу времени) N - количество линий
Для нахождения минимального числа линий, при котором вероятность отказа не превышает заданные значения, мы будем использовать итеративный подход.
Для начала, найдем минимальное число линий при вероятности отказа 0.05.
Пусть A = 240 разговоров/час * 1/40 часа = 6 звонков/минуту.
Теперь, используя формулу Эрланга-Б, мы можем начать итеративный процесс:
- Пусть N = 1 и рассчитаем вероятность отказа P.
- Если P <= 0.05, то это минимальное число линий, при котором вероятность отказа не превышает 0.05.
- Если P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим шаги 1-2.
Продолжим этот процесс до тех пор, пока не найдем минимальное число линий.
Аналогично, мы можем рассчитать минимальное число линий при вероятности отказа 0.01.
Давайте выполним эти расчеты:
Для вероятности отказа 0.05: A = 6 звонков/минуту N = 1 P = (6^1 / 1!) / (6^1 / 1! + 6^1 / 1!) = 0.5
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 2 P = (6^2 / 2!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2!) = 0.7
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 3 P = (6^3 / 3!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3!) = 0.784
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 4 P = (6^4 / 4!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4!) = 0.834
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 5 P = (6^5 / 5!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5!) = 0.865
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 6 P = (6^6 / 6!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6!) = 0.885
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 7 P = (6^7 / 7!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6! + 6^7 / 7!) = 0.899
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 8 P = (6^8 / 8!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6! + 6^7 / 7! + 6^8 / 8!) = 0.910
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 9 P = (6^9 / 9!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6! + 6^7 / 7! + 6^8 / 8! + 6^9 / 9!) = 0.919
Так как P > 0.05, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 10 P = (6^10 / 10!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6! + 6^7 / 7! + 6^8 / 8! + 6^9 / 9! + 6^10 / 10!) = 0.926
Так как P <= 0.05, минимальное число линий, при котором вероятность отказа не превышает 0.05, равно 10.
Теперь рассчитаем минимальное число линий при вероятности отказа 0.01:
A = 6 звонков/минуту N = 1 P = (6^1 / 1!) / (6^1 / 1! + 6^1 / 1!) = 0.5
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 2 P = (6^2 / 2!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2!) = 0.7
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 3 P = (6^3 / 3!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3!) = 0.784
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 4 P = (6^4 / 4!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4!) = 0.834
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 5 P = (6^5 / 5!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5!) = 0.865
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 6 P = (6^6 / 6!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6!) = 0.885
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 7 P = (6^7 / 7!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6! + 6^7 / 7!) = 0.899
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 8 P = (6^8 / 8!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6! + 6^7 / 7! + 6^8 / 8!) = 0.910
Так как P > 0.01, увеличим N на 1 и повторим расчет:
A = 6 звонков/минуту N = 9 P = (6^9 / 9!) / (6^1 / 1! + 6^2 / 2! + 6^3 / 3! + 6^4 / 4! + 6^5 / 5! + 6^6 / 6! + 6^7 / 7! + 6^8 / 8! + 6^9 / 9!) = 0.919
Так как P <= 0.01, минимальное число линий, при котором вероятность отказа не превышает 0.01, равно 9.
Таким образом, минимальное число линий, при котором вероятность отказа не превышает 0.05, равно 10, а при вероятности отказа 0.01 - 9.
