. Пусть задано множество 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и отношение = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐴| 2𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴}. Записать отношение списком, графически...
Условие:
. Пусть задано множество 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} и отношение = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐴| 2𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴}. Записать отношение списком, графически и в матричной формах. Установить область определения и область значений данного отношения. Определить свойства данного отношения. Является ли отношение отношением эквивалентности или отношением частичного поря
Решение:
Отношение задано условием 2𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴. Для каждой пары элементов (𝑥, 𝑦) из множества 𝐴 × 𝐴, где 𝑥 и 𝑦 принадлежат множеству 𝐴, проверяем выполнение условия 2𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴.
Списком отношение может быть записано следующим образом: {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (7, 8), (7, 9), (8, 9)}
Графически отношение может быть представлено следующим образом:
1 -> 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2 -> 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 3 -> 4, 5, 6, 7, 8, 9 4 -> 5, 6, 7, 8, 9 5 -> 6, 7, 8, 9 6 -> 7, 8, 9 7 -> 8, 9 8 -> 9
Матрично отношение может быть представлено следующей матрицей:
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Область определения данного отношения - множество 𝐴, так как для каждого элемента 𝑥 из 𝐴 найдется элемент 𝑦 из 𝐴, для которого 2𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴.
Область значений данного отношения - также множество 𝐴, так как для каждого элемента 𝑥 из 𝐴 найдется элемент 𝑦 из 𝐴, для которого 2𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴.
Свойства данного отношения:
- Рефлексивность: каждый элемент из множества 𝐴 связан с самим собой, так как 2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 ∈ 𝐴.
- Симметричность: если (𝑥, 𝑦) ∈ , то (𝑦, 𝑥) ∈ , так как 2𝑦 − 𝑥 = 2(2𝑥 − 𝑦) − 𝑥 = 2𝑥 − 𝑦 ∈ 𝐴.
- Транзитивность: если (𝑥, 𝑦) ∈ и (𝑦, 𝑧) ∈ , то (𝑥, 𝑧) ∈ , так как 2𝑥 − 𝑧 = 2(2𝑦 − 𝑧) − 𝑦 = 2𝑦 − 𝑧 ∈ 𝐴.
Отношение не является отношением эквивалентности, так как оно не является рефлексивным, симметричным и транзитивным одновременно.
Отношение также не является отношением частичного порядка, так как оно не является рефлексивным, а также не является антисимметричным (например, для (1, 2) и (2, 1) выполняется условие 2𝑥 − 𝑦 = 2 − 1 = 1 ∈ 𝐴, но элементы 1 и 2 не равны).
