Координаты случайной точки M(b, c) в прямоугольнике, ограниченном осями координат и прямыми x = 7 и y = 1, служат коэффициентами квадратного...
Условие:
Координаты случайной точки M(b, c) в прямоугольнике, ограниченном осями координат и прямыми x = 7 и y = 1, служат коэффициентами квадратного уравнения z² + bz + c = 0. Полагая все положения случайной точки в указанном прямоугольнике равновозможными, найдите вероятность того, что уравнение не имеет действительных корней.
Решение:
Для того чтобы уравнение z² + bz + c = 0 не имело действительных корней, дискриминант должен быть отрицательным. Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле D = b² - 4ac.
В данном случае, по условию, координаты точки M(b, c) находятся в прямоугольнике, ограниченном осями координат и прямыми x = 7 и y = 1. Значит, b и c должны удовлетворять следующим условиям:
0 ≤ b ≤ 7, 0 ≤ c ≤ 1.
Таким образом, нам нужно найти площадь области, где дискриминант отрицательный, и поделить ее на площадь всего прямоугольника.
Для начала, найдем площадь всего прямоугольника. Она равна произведению длин его сторон: S = 7 * 1 = 7.
Теперь найдем площадь области, где дискриминант отрицательный. Для этого нужно найти область, где b² - 4ac < 0. Учитывая ограничения на b и c, получаем:
b² - 4ac < 0, 0 ≤ b ≤ 7, 0 ≤ c ≤ 1.
Для упрощения вычислений, рассмотрим два случая:
-
Если c = 0, то уравнение принимает вид z² + bz = 0. Дискриминант в этом случае равен D = b² - 4 * 0 * b = b². Чтобы D был отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы b было отрицательным. Но по условию 0 ≤ b ≤ 7, поэтому в этом случае область, где D < 0, пуста.
-
Если 0 < c ≤ 1, то уравнение принимает вид z² + bz + c = 0. Дискриминант в этом случае равен D = b² - 4 * 1 * c = b² - 4c. Чтобы D был отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы b² < 4c. Рассмотрим два подслучая:
a) Если 0 ≤ c < 1/4, то b² < 4c всегда выполняется для любого b из интервала [0, 7]. Таким образом, в этом случае область, где D < 0, совпадает с областью всего прямоугольника.
b) Если 1/4 ≤ c ≤ 1, то b² < 4c выполняется только для b из интервала [0, 2√c]. Таким образом, в этом случае область, где D < 0, представляет собой прямоугольник со сторонами 2√c и 1, и его площадь равна S' = 2√c * 1 = 2√c.
Теперь найдем вероятность того, что уравнение не имеет действительных корней. Она равна отношению площади области, где D < 0, к площади всего прямоугольника:
P = S' / S.
Если 0 ≤ c < 1/4, то P = S' / S = S / S = 1.
Если 1/4 ≤ c ≤ 1, то P = S' / S = (2√c) / 7.
Таким образом, вероятность того, что уравнение не имеет действительных корней, равна 1, если 0 ≤ c < 1/4, и (2√c) / 7, если 1/4 ≤ c ≤ 1.
