В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отметили точки Р и Q соответственно так, что AP: PB-1:5; BQ: QC-4:3. Известно, что Ѕвро = 20. Найдите...
Условие:
В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отметили точки Р и Q соответственно так, что AP: PB-1:5; BQ: QC-4:3. Известно, что Ѕвро = 20. Найдите площадь треугольника АРQ.
Решение:
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать отношение площадей треугольников и отношение длин сторон.
Известно, что AP:PB = 1:5, а BQ:QC = 4:3. Мы можем использовать эти отношения, чтобы найти отношение длин сторон треугольника АРQ.
Пусть длина стороны АВ равна x, тогда длина стороны ВС будет равна 5x (так как AP:PB = 1:5), а длина стороны АС будет равна 8x (так как BQ:QC = 4:3).
Теперь мы можем найти площадь треугольника АВС, используя формулу полупериметра и радиуса вписанной окружности:
S(ABC) = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.
Полупериметр треугольника АВС равен p = (x + 5x + 8x)/2 = 7x.
Теперь мы можем найти площадь треугольника АВС:
S(ABC) = √(7x(7x-x)(7x-5x)(7x-8x)) = √(7x^4).
Из условия задачи известно, что площадь треугольника АВС равна 20:
√(7x^4) = 20.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
7x^4 = 400.
Теперь найдем значение x:
x^4 = 400/7.
x ≈ 3.44.
Теперь, когда мы знаем длины сторон треугольника АВС, мы можем найти площадь треугольника АРQ.
Площадь треугольника АРQ равна отношению площадей треугольников АРQ и АВС, умноженному на площадь треугольника АВС:
S(ARQ) = (S(ARQ)/S(ABC)) * S(ABC).
Так как сторона АР равна 1/6 от стороны АВ, а сторона АQ равна 4/7 от стороны АС, то площадь треугольника АРQ равна:
S(ARQ) = (1/6) * (4/7) * 20 = 40/21.
Таким образом, площадь треугольника АРQ равна 40/21.