Все члены геометрической прогрессии положительны. Сумма первых 9 членов прогрессии равна 2.75, а сумма обратных величин этих членов равна 44...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся формулами для суммы членов геометрической прогрессии.
Пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q.
Тогда сумма первых 9 членов прогрессии равна:
S9 = a + aq + aq^2 + ... + aq^8
А сумма обратных величин этих членов равна:
S'9 = 1/a + 1/(aq) + 1/(aq^2) + ... + 1/(aq^8)
Мы знаем, что S9 = 2.75 и S'9 = 44.
Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, мы можем записать:
S9 = a * (1 - q^9) / (1 - q) = 2.75
S'9 = (1/a) * (1 - 1/q^9) / (1 - 1/q) = 44
Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно a и q.
Разделим уравнения S9 и S'9:
S9 / S'9 = (a * (1 - q^9) / (1 - q)) / ((1/a) * (1 - 1/q^9) / (1 - 1/q))
2.75 / 44 = (a * (1 - q^9) / (1 - q)) / ((1/a) * (1 - 1/q^9) / (1 - 1/q))
Упростим выражение:
2.75 / 44 = (a * (1 - q^9) * (1 - 1/q)) / ((1/a) * (1 - 1/q^9) * (1 - q))
2.75 / 44 = (a * (1 - q^9) * (q - 1)) / ((1 - 1/q^9) * (1 - q))
2.75 / 44 = a * (q - 1) / (1 - q)
Теперь мы можем решить это уравнение относительно a и q.
2.75 / 44 = a * (q - 1) / (1 - q)
2.75 * (1 - q) = 44 * a * (q - 1)
2.75 - 2.75q = 44aq - 44a
2.75 + 44a = 44aq + 2.75q
2.75 + 44a = q(44a + 2.75)
q = (2.75 + 44a) / (44a + 2.75)
Теперь мы можем найти пятый член прогрессии, зная a и q.
Подставим полученное значение q в формулу для пятого члена прогрессии:
a5 = a * q^4
a5 = a * ((2.75 + 44a) / (44a + 2.75))^4
Таким образом, чтобы найти пятый член прогрессии, нам необходимо знать значение a. Однако, без дополнительных данных, мы не можем определить его.
