Снаряд массой m=10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью v0=800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления k=0,25 кг/с.
Для решения этой задачи мы можем использовать второй закон Ньютона, который гласит, что сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение.
В данном случае, сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости и направлена противоположно движению снаряда. Таким образом, сила сопротивления воздуха можно записать как Fсопр = -k * v, где k - коэффициент сопротивления, v - скорость снаряда.
Также, учитывая, что сила тяжести равна m * g, где m - масса снаряда, g - ускорение свободного падения, мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для вертикального движения снаряда:
m * a = -k * v - m * g,
где a - ускорение снаряда.
Учитывая, что ускорение a равно производной скорости v по времени t (a = dv/dt), мы можем записать дифференциальное уравнение:
m * dv/dt = -k * v - m * g.
Для решения этого уравнения, мы можем применить метод разделения переменных. Разделим переменные и проинтегрируем обе части уравнения:
(m * dv) / (-k * v - m * g) = dt.
Интегрируя обе части, получим:
∫(m * dv) / (-k * v - m * g) = ∫dt.
Левую часть уравнения можно проинтегрировать с помощью замены переменных. Проведя несложные вычисления, получим:
-1/k * ln|(-k * v - m * g)| = t + C,
где C - постоянная интегрирования.
Теперь, чтобы найти время t подъема снаряда до высшей точки, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-1/k * ln|(-k * v0 - m * g)| = 0 + C.
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам уравнения:
|(-k * v0 - m * g)| = e^(-k * C).
Так как выражение в модуле является положительным, мы можем убрать модуль:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Теперь, чтобы найти время t, нам нужно решить это уравнение относительно t. Для этого мы можем использовать начальные условия: при t = 0, v = v0.
Подставим начальные условия в уравнение:
-k * v0 - m * g = e^(-k * C).
Избавимся от постоянной интегрирования C, применив экспоненту к обеим сторонам у
