Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном в...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Пусть X - количество попаданий в цель из N выстрелов. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,5, поэтому вероятность попадания X раз из N выстрелов можно выразить следующим образом:
P(X=k) = C(N, k) * (0,5)^k * (0,5)^(N-k)
где C(N, k) - количество сочетаний из N по k.
Мы хотим найти наименьшее количество патронов N, при котором вероятность попадания в цель не меньше 0,8. То есть, мы хотим найти такое минимальное N, при котором сумма вероятностей P(X=k) для k от 0 до N больше или равна 0,8.
Мы можем использовать таблицы сочетаний, чтобы вычислить вероятности для разных значений k и N, но для упрощения задачи воспользуемся неравенством Чебышева.
Неравенство Чебышева гласит, что для любого случайного события X с математическим ожиданием μ и стандартным отклонением σ, вероятность P(|X-μ| ≥ kσ) не превышает 1/k^2.
В нашем случае, математическое ожидание μ равно N * 0,5, а стандартное отклонение σ равно sqrt(N * 0,5 * 0,5) = sqrt(N * 0,25) = 0,5 * sqrt(N).
Мы хотим, чтобы вероятность попадания в цель была не меньше 0,8, поэтому мы можем записать неравенство Чебышева следующим образом:
P(|X - N * 0,5| ≥ k * 0,5 * sqrt(N)) ≤ 1/k^2
Мы хотим, чтобы левая часть неравенства была не больше 0,2 (1 - 0,8), поэтому мы можем записать:
1/k^2 ≤ 0,2
k^2 ≥ 5
k ≥ sqrt(5)
k ≥ 2,24
Таким образом, наименьшее количество патронов N, при котором вероятность попадания в цель не меньше 0,8, равно 3.
