Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0.47 при каждом отдельном ...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.47, а вероятность промаха равна 1 - 0.47 = 0.53.
Пусть X - количество патронов, которые стрелку нужно выстрелить, чтобы поразить цель. Мы хотим найти наименьшее значение X, при котором вероятность поражения цели не менее 0.912.
Таким образом, мы ищем наименьшее значение X, при котором сумма вероятностей попадания в цель равна или больше 0.912:
P(X >= X_min) = P(X_min) + P(X_min + 1) + P(X_min + 2) + ...
Используя биномиальное распределение, мы можем вычислить вероятность попадания в цель X раз из N выстрелов:
P(X=k) = C(N, k) * p^k * (1-p)^(N-k)
Где C(N, k) - число сочетаний из N по k, p - вероятность попадания в цель, (1-p) - вероятность промаха.
Для нашей задачи, мы хотим найти наименьшее значение N, при котором:
P(X >= X_min) = P(X_min) + P(X_min + 1) + P(X_min + 2) + ... >= 0.912
Мы можем начать с X_min = 1 и увеличивать его на 1, пока сумма вероятностей не станет больше или равна 0.912.
Давайте рассчитаем это:
X_min = 1 P(X_min) = C(X_min, X_min) * p^X_min * (1-p)^(N-X_min) = 0.47^1 * (1-0.47)^(N-1) = 0.47 * 0.53^(N-1)
Суммируем вероятности:
P(X >= 1) = 0.47 * 0.53^(N-1) >= 0.912
0.47 * 0.53^(N-1) >= 0.912 0.53^(N-1) >= 0.912 / 0.47 0.53^(N-1) >= 1.939
Теперь мы можем использовать логарифмы для решения этого неравенства:
(N-1) * log(0.53) >= log(1.939) (N-1) >= log(1.939) / log(0.53) N >= (log(1.939) / log(0.53)) + 1
Вычислим это значение:
N >= 5.34 + 1 N >= 6.34
Таким образом, наименьшее количество патронов, которое нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0.912, равно 7.
