Случайная величина X распределена по показательному (экспоненциальному) закону, вероятность того, что случайная величина X примет значение м...
Условие:
Случайная величина X распределена по показательному (экспоненциальному) закону, вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x=2 равна (Р(Х<2)=0,8). Найти: а) параметр распределения , MX, DX; б) функцию плотности распределения вероятностей; в) построить графики функции распределения и функции плотности распределения вероятност
Решение:
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства экспоненциального распределения.
а) Параметр распределения λ можно найти, используя следующее соотношение: P(X < x) = 1 - e^(-λx)
Из условия задачи, P(X < 2) = 0.8, поэтому: 0.8 = 1 - e^(-2λ)
Решая это уравнение относительно λ, получаем: e^(-2λ) = 0.2 -2λ = ln(0.2) λ = -ln(0.2) / 2
Таким образом, параметр распределения λ равен -ln(0.2) / 2.
Математическое ожидание MX для экспоненциального распределения равно 1/λ, а дисперсия DX равна 1/λ^2. Подставляя найденное значение λ, получаем: MX = 1 / (-ln(0.2) / 2) = -2 / ln(0.2) DX = 1 / (-ln(0.2) / 2)^2 = 4 / ln(0.2)^2
б) Функция плотности распределения вероятностей f(x) для экспоненциального распределения с параметром λ выглядит следующим образом: f(x) = λ * e^(-λx)
Подставляя найденное значение λ, получаем: f(x) = (-ln(0.2) / 2) * e^((-ln(0.2) / 2) * x)
в) График функции распределения F(x) и функции плотности распределения f(x) можно построить, используя найденные значения параметра λ.
График функции распределения F(x) будет иметь вид: F(x) = 1 - e^(-λx)
График функции плотности распределения f(x) будет иметь экспоненциальную форму, снижающуюся с увеличением x.
Обратите внимание, что значения параметра λ, математического ожидания MX и дисперсии DX могут быть округлены до нужного количества знаков после запятой в зависимости от требований задачи.
