Система двух дискретных случайных величин задана двумерной таблицей распределения. Определить условный закон распределения дискретной сл...
Условие:
Система двух дискретных случайных величин задана двумерной таблицей распределения. Определить условный закон распределения дискретной случайной величины при условии, что дискретная случайная величина приняла значение . Найти условные математическое ожидание и дисперсию . p11=0,3, p21=0,05, p12=0,3, p22=0,15, p13=0,1, p23=0,1
Решение:
Для определения условного закона распределения случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , мы должны нормировать вероятности в строке, соответствующей данному значению .
Для этого, нам нужно найти сумму вероятностей в строке, где принимает значение :
p(1|1) = p11 / (p11 + p12 + p13) = 0.3 / (0.3 + 0.3 + 0.1) = 0.3 / 0.7 = 3/7 p(2|1) = p21 / (p21 + p22 + p23) = 0.05 / (0.05 + 0.15 + 0.1) = 0.05 / 0.3 = 1/6
Теперь мы можем записать условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение :
p(1|1) = 3/7 p(2|1) = 1/6
Для нахождения условного математического ожидания при условии, что случайная величина приняла значение , мы используем следующую формулу:
E(X|Y=y) = Σx * p(x|y)
где Σx - сумма по всем возможным значениям случайной величины , p(x|y) - условная вероятность, что принимает значение , при условии, что принимает значение .
E(X|Y=1) = 1 * p(1|1) + 2 * p(2|1) = 1 * (3/7) + 2 * (1/6) = 3/7 + 1/3 = 9/21 + 7/21 = 16/21
Таким образом, условное математическое ожидание при условии, что случайная величина приняла значение , равно 16/21.
Для нахождения условной дисперсии , мы используем следующую формулу:
Var(X|Y=y) = E(X^2|Y=y) - [E(X|Y=y)]^2
где E(X^2|Y=y) - условное математическое ожидание квадрата случайной величины при условии, что принимает значение .
E(X^2|Y=1) = 1^2 * p(1|1) + 2^2 * p(2|1) = 1^2 * (3/7) + 2^2 * (1/6) = 3/7 + 4/6 = 18/42 + 14/42 = 32/42
Теперь мы можем вычислить условную дисперсию :
Var(X|Y=1) = E(X^2|Y=1) - [E(X|Y=1)]^2 = 32/42 - (16/21)^2 = 32/42 - 256/441 = 320/441 - 256/441 = 64/441
Таким образом, условная дисперсия при условии, что случайная величина приняла значение , равна 64/441.
