Проводится серия из n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p. При каком p дисперсия числа успехов наибольшая возможная? Чему равно наибо...
Условие:
Решение:
Для нахождения значения p, при котором дисперсия числа успехов будет наибольшей, мы можем использовать формулу для дисперсии биномиального распределения. Дисперсия биномиального распределения равна n * p * (1 - p), где n - количество испытаний, а p - вероятность успеха.
Чтобы найти максимальное значение дисперсии, мы можем взять производную от этой функции по p и приравнять ее к нулю:
d/dp (n * p * (1 - p)) = 0
n * (1 - 2p) = 0
1 - 2p = 0
2p = 1
p = 1/2
Таким образом, при p = 1/2 дисперсия числа успехов будет наибольшей возможной.
Чтобы найти наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов, мы можем использовать формулу для стандартного отклонения биномиального распределения. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
стандартное отклонение = sqrt(n * p * (1 - p))
Подставляя p = 1/2, получаем:
стандартное отклонение = sqrt(n * (1/2) * (1 - 1/2))
стандартное отклонение = sqrt(n * 1/4)
стандартное отклонение = sqrt(n) / 2
Таким образом, наибольшее возможное стандартное отклонение числа успехов равно sqrt(n) / 2.
