Общество из 20 человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.

Для нахождения постоянного параметра C воспользуемся условием нормировки плотности вероятности. Интеграл от плотности вероятности должен быть равен 1: ∫[0,2] C*2·x dx = 1 Вычислим этот интеграл: C * ∫[0,2] 2·x dx = 1 C * [x^2] [0,2] = 1 C * (2^2 - 0^2) = 1 C * 4 = 1 C = 1/4 Таким образом, постоянный параметр C равен 1/4. Теперь найдем функцию распределения F(X). Функция распределения определяется как интеграл от плотности вероятности до заданного значения X: F(X) = ∫[0,X] p(x) dx Разобьем интеграл на две части: F(X) = ∫[0,X] C*2·x dx + ∫[X,2] 0 dx F(X) = C * ∫[0,X] 2·x dx + 0 F(X) = C * [x^2] [0,X] F(X) = C * (X^2 - 0^2) F(X) = C * X^2 Подставим значение C = 1/4: F(X) = (1/4) * X^2 Теперь найдем математическое ожидание M(X). Математическое ожидание определяется как интеграл от произведения значения X на плотность вероятности: M(X) = ∫[0,2] x * p(x) dx Разобьем интеграл на две части: M(X) = ∫[0,2] x * C*2·x dx M(X) = C * ∫[0,2] 2·x^2 dx M(X) = C * [2/3 * x^3] [0,2] M(X) = C * (2/3 * 2^3 - 2/3 * 0^3) M(X) = C * (16/3) Подставим значение C = 1/4: M(X) = (1/4) * (16/3) M(X) = 4/3 Теперь найдем среднее квадратическое отклонение. Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии, а дисперсия вычисляется как математическое ожидание квадрата отклонения от среднего: σ(X) = sqrt(∫[0,2] (x - M(X))^2 * p(x) dx) Разобьем интеграл на две части: σ(X) = sqrt(∫[0,2] (x - M(X))^2 * C*2·x dx) σ(X) = sqrt(C * ∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx) Для упрощения вычислений, найдем сначала интеграл ∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx: ∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx = ∫[0,2] (x^3 - 2 * M(X) * x^2 + (M(X))^2 * x) dx ∫[0,2] (x^3 - 2 * (4/3) * x^2 + (4/3)^2 * x) dx = ∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx ∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = [1/4 * x^4 - (8/9) * x^3 + (8/9) * x^2] [0,2] ∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = 1/4 * 2^4 - (8/9) * 2^3 + (8/9) * 2^2 - 0 ∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = 4 - (64/9) + (32/9) ∫[0,2] (x^3 - (8/3) * x^2 + (16/9) * x) dx = 4/9 Теперь найдем среднее квадратическое отклонение: σ(X) = sqrt(C * ∫[0,2] (x - M(X))^2 * 2·x dx) σ(X) = sqrt((1/4) * (4/9)) σ(X) = sqrt(1/9) σ(X) = 1/3 Теперь найдем вероятность попадания X в интервал (0, 0.5). Вероятность попадания в интервал определяется как интеграл от плотности вероятности в этом интервале: P(0 < X < 0.5) = ∫[0,0.5] p(x) dx P(0 < X < 0.5) = ∫[0,0.5] (1/4) * 2·x dx P(0 < X < 0.5) = (1/4) * ∫[0,0.5] 2·x dx P(0 < X < 0.5) = (1/4) * [x^2] [0,0.5] P(0 < X < 0.5) = (1/4) * (0.5^2 - 0^2) P(0 < X < 0.5) = (1/4) * (0.25 - 0) P(0 < X < 0.5) = 0.0625 Таким образом, вероятность попадания X в интервал (0, 0.5) равна 0.0625. Теперь построим графики функции плотности вероятности p(x) и функции распределения F(x). График функции плотности вероятности p(x): ``` import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np x = np.linspace(0, 2, 100) y = np.piecewise(x, [x <= 0, (x > 0) & (x < 2), x >= 2], [0, lambda x: (1/4) * 2 * x, 0]) plt.plot(x, y) plt.xlabel('x') plt.ylabel('p(x)') plt.title('График функции плотности вероятности p(x)') plt.grid(True) plt.show() ``` График функции распределения F(x): ``` x = np.linspace(0, 2, 100) y = (1/4) * x**2 plt.plot(x, y) plt.xlabel('x') plt.ylabel('F(x)') plt.title('График функции распределения F(x)') plt.grid(True) plt.show() ``` Пожалуйста, обратите внимание, что код для построения графиков предполагает использование библиотеки matplotlib в языке программирования Python.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть A - событие "бросили первый кубик", B - событие "выпали 1 и 2 очка в каком-то порядке". Мы хотим найти вероятность того, что бросали второй кубик при условии, что выпали 1 и 2 очка. Обозначим это событие как P(A|B). Используя формулу условной вероятности, получаем: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) Вероятность P(A∩B) можно найти следующим образом: из двух возможных вариантов (первый кубик или второй кубик) только второй кубик может дать результаты 1 и 2. Так как на гранях второго кубика числа 1 и 2 встречаются по три раза, вероятность P(A∩B) равна 3/36 = 1/12. Теперь нам нужно найти вероятность P(B) - вероятность выпадения 1 и 2 очка в каком-то порядке. Всего есть 6 возможных комбинаций для выпадения 1 и 2 очка: (1, 2), (2, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 2), (2, 1). Таким образом, вероятность P(B) равна 6/36 = 1/6. Теперь мы можем вычислить вероятность P(A|B): P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = (1/12) / (1/6) = 1/2 Таким образом, вероятность того, что бросали второй кубик при условии, что выпали 1 и 2 очка, равна 1/2 или 50%.

Для составления биномиального закона распределения, нам необходимо знать вероятность появления бракованной игрушки и вероятность появления качественной игрушки. Пусть p будет вероятностью появления бракованной игрушки, а q будет вероятностью появления качественной игрушки. Так как в задании указано, что 58% игрушек являются бракованными, то p = 0.58. Следовательно, q = 1 - p = 1 - 0.58 = 0.42. Теперь мы можем составить биномиальный закон распределения для случайной величины X: P(x=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k), где n - общее количество выбранных игрушек, k - количество бракованных игрушек среди качественных, C(n, k) - число сочетаний из n по k. В данном случае, n = 4, и мы хотим найти P(x=1) + P(x=2). P(x=1) = C(4, 1) * p^1 * q^(4-1) = 4 * 0.58^1 * 0.42^3, P(x=2) = C(4, 2) * p^2 * q^(4-2) = 6 * 0.58^2 * 0.42^2. Теперь можем вычислить значения: P(x=1) = 4 * 0.58 * 0.42^3, P(x=2) = 6 * 0.58^2 * 0.42^2. Таким образом, значение P(x=1) + P(x=2) будет равно: P(x=1) + P(x=2) = 4 * 0.58 * 0.42^3 + 6 * 0.58^2 * 0.42^2.

Чтобы найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины, мы должны разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов. Количество благоприятных исходов можно найти с помощью комбинаторики. У нас есть 4 женщины, и мы выбираем 3 из них. Это можно выразить как сочетание из 4 по 3, обозначаемое как C(4, 3). Значение C(4, 3) равно 4. Общее количество возможных исходов можно найти, выбирая 7 человек из общего числа работников в цехе, то есть из 10 человек. Это можно выразить как сочетание из 10 по 7, обозначаемое как C(10, 7). Значение C(10, 7) равно 120. Таким образом, количество благоприятных исходов равно 4, а общее количество возможных исходов равно 120. Теперь мы можем найти вероятность, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов: Вероятность = Количество благоприятных исходов / Общее количество возможных исходов Вероятность = 4 / 120 Вероятность = 1 / 30 Таким образом, вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины, составляет 1/30 или примерно 0.0333 (округленно до четырех знаков после запятой).