Найдите ковариацию числа выпадений единицы и шестерки при n бросаниях кости. (сделайте хотя бы для n=3)
Условие:
Найдите ковариацию числа выпадений единицы и шестерки при n бросаниях кости. (сделайте хотя бы для n=3)
Решение:
Для решения этой задачи, нам необходимо знать вероятности выпадения каждой из сторон кости. Предположим, что кость является справедливой, то есть вероятность выпадения каждой стороны равна 1/6.
Пусть X будет случайной величиной, представляющей число выпадений единицы при n бросаниях кости, а Y - число выпадений шестерки. Тогда ковариация между X и Y может быть вычислена следующим образом:
cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])],
где E[X] и E[Y] - математические ожидания X и Y соответственно.
Для n=3, мы можем рассмотреть все возможные исходы:
(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), ..., (6, 6, 5), (6, 6, 6).
Всего у нас есть 6^3 = 216 возможных исходов.
Теперь мы можем вычислить математическое ожидание E[X] и E[Y]:
E[X] = (1/6) * 3 = 1/2, E[Y] = (1/6) * 3 = 1/2.
Теперь мы можем вычислить ковариацию:
cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = (1/216) * [(0 - 1/2)(0 - 1/2) + (0 - 1/2)(1 - 1/2) + ... + (1 - 1/2)(1 - 1/2)] = (1/216) * [(1/2)^2 + (-1/2)^2 + ... + (1/2)^2] = (1/216) * [3 * (1/2)^2] = 1/72.
Таким образом, ковариация между числом выпадений единицы и шестерки при трех бросаниях кости равна 1/72.
