Какова вероятность пять раз попасть в цель, если вероятность попадания равна 0,8 и производится 8 независимых выстрелов? Найти вероятность н...
Условие:
Решение:
Для решения этой задачи с использованием формулы Бернулли, нам необходимо знать вероятность попадания (p), количество независимых испытаний (n), а также число попаданий (k), для которого мы хотим найти вероятность.
В данном случае, вероятность попадания (p) равна 0,8, количество независимых испытаний (n) равно 8.
- Вероятность попасть ровно 5 раз: Для этого мы можем использовать формулу Бернулли: P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где C(n, k) - количество сочетаний из n по k, p^k - вероятность k попаданий, (1-p)^(n-k) - вероятность (n-k) промахов.
P(5) = C(8, 5) * 0,8^5 * (1-0,8)^(8-5)
Вычислим это значение:
P(5) = 8! / (5! * (8-5)!) * 0,8^5 * 0,2^3
P(5) = 56 * 0,32768 * 0,008
P(5) ≈ 0,1468
Таким образом, вероятность попасть ровно 5 раз составляет около 0,1468.
- Вероятность не менее 6 попаданий: Для этого мы можем использовать формулу Бернулли и просуммировать вероятности для 6, 7 и 8 попаданий:
P(6+) = P(6) + P(7) + P(8)
P(6+) = C(8, 6) * 0,8^6 * 0,2^2 + C(8, 7) * 0,8^7 * 0,2^1 + C(8, 8) * 0,8^8 * 0,2^0
Вычислим это значение:
P(6+) = 28 * 0,262144 * 0,04 + 8 * 0,2097152 * 0,2 + 1 * 0,16777216 * 1
P(6+) ≈ 0,3359
Таким образом, вероятность попасть не менее 6 раз составляет около 0,3359.
- Наивероятнейшее число попаданий: Наивероятнейшее число попаданий соответствует максимальной вероятности. В данном случае, мы можем вычислить вероятность для каждого числа попаданий от 0 до 8 и найти максимальное значение.
P(0) = C(8, 0) * 0,8^0 * 0,2^8 P(1) = C(8, 1) * 0,8^1 * 0,2^7 P(2) = C(8, 2) * 0,8^2 * 0,2^6 P(3) = C(8, 3) * 0,8^3 * 0,2^5 P(4) = C(8, 4) * 0,8^4 * 0,2^4 P(5) = C(8, 5) * 0,8^5 * 0,2^3 P(6) = C(8, 6) * 0,8^6 * 0,2^2 P(7) = C(8, 7) * 0,8^7 * 0,2^1 P(8) = C(8, 8) * 0,8^8 * 0,2^0
Вычислим все значения:
P(0) ≈ 0,000016 P(1) ≈ 0,000269 P(2) ≈ 0,002688 P(3) ≈ 0,015552 P(4) ≈ 0,055296 P(5) ≈ 0,1468 P(6) ≈ 0,260096 P(7) ≈ 0,28672 P(8) ≈ 0,16777216
Наивероятнейшее число попаданий - 6, так как вероятность попасть 6 раз (P(6)) составляет около 0,260096, что является максимальным значением среди всех возможных чисел попаданий.
