Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l . Найти вероятность того, что электрон, находя...
Условие:
Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l . Найти вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=3), находится на расстоянии 0,3 l от левого края ямы в интервале шириной 0,02 l .
Решение:
Для решения этой задачи нам понадобится волновая функция электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Волновая функция электрона в яме шириной l и находящегося в n-ом возбужденном состоянии может быть записана как:
ψ(x) = √(2/l) * sin((nπx)/l)
где x - координата электрона в яме, n - номер возбужденного состояния, l - ширина ямы.
Мы хотим найти вероятность того, что электрон находится на расстоянии 0,3l от левого края ямы в интервале шириной 0,02l. Для этого нам нужно проинтегрировать квадрат модуля волновой функции в этом интервале:
P = ∫[0.3l, 0.32l] |ψ(x)|^2 dx
P = ∫[0.3l, 0.32l] (2/l) * sin^2((nπx)/l) dx
P = (2/l) * ∫[0.3l, 0.32l] sin^2((nπx)/l) dx
Для упрощения интеграла мы можем использовать тригонометрическую тождества:
sin^2(a) = (1 - cos(2a))/2
P = (2/l) * ∫[0.3l, 0.32l] (1 - cos((2nπx)/l))/2 dx
P = (1/l) * ∫[0.3l, 0.32l] (1 - cos((2nπx)/l)) dx
Теперь мы можем проинтегрировать это выражение:
P = (1/l) * [x - (l/(2nπ)) * sin((2nπx)/l)] [0.3l, 0.32l]
P = (1/l) * [(0.32l - 0.3l) - (l/(2nπ)) * (sin((2nπ0.32l)/l) - sin((2nπ0.3l)/l))]
P = (1/l) * [0.02l - (l/(2nπ)) * (sin((0.64nπ)/l) - sin((0.6nπ)/l))]
Теперь мы можем подставить значения l и n и вычислить вероятность P.
