Дана матричная игра: (−4 −3 6 8 1 −5). Найдите оптимальную смешанную стратегию для первого (левого) игрока и найдите его цену игры (в от...
Условие:
Дана матричная игра: (−4 −3 6 8 1 −5). Найдите оптимальную смешанную стратегию для первого (левого) игрока и найдите его цену игры (в ответе укажите цену игры).
Решение:
Для нахождения оптимальной смешанной стратегии первого игрока и его цены игры в матричной игре, необходимо использовать метод смешанных стратегий.
Для начала, найдем оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Для этого нужно найти вероятности выбора каждой из его стратегий, чтобы первый игрок был равнодушен к выбору своих стратегий.
Пусть вероятности выбора стратегий второго игрока будут p1 и p2 соответственно. Тогда, для первого игрока, математическое ожидание выигрыша будет равно:
E1 = (-4 * p1 + 8 * (1 - p1), -3 * p1 + 1 * (1 - p1), 6 * p1 + (-5) * (1 - p1))
Для первого игрока, равнодушность к выбору своих стратегий означает, что все три значения математического ожидания должны быть одинаковы. Таким образом, мы можем записать следующую систему уравнений:
-4 * p1 + 8 * (1 - p1) = -3 * p1 + 1 * (1 - p1) = 6 * p1 + (-5) * (1 - p1)
Решая эту систему уравнений, мы найдем p1 = 0.4 и p2 = 0.6.
Теперь, найдем оптимальную смешанную стратегию первого игрока. Для этого мы должны выбрать стратегию, которая максимизирует его математическое ожидание выигрыша, учитывая выбор второго игрока.
E2 = (-4 * 0.4 + 8 * 0.6, -3 * 0.4 + 1 * 0.6, 6 * 0.4 + (-5) * 0.6) = (2.8, -0.6, -0.6)
Таким образом, оптимальная смешанная стратегия первого игрока будет (0.4, 0.6), а его цена игры будет равна 2.8.
