3. Среди продукции, изготовленной на данном станке, брак составляет 2 %. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,995 можно ...
Условие:
- Среди продукции, изготовленной на данном станке, брак составляет 2 %. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,995 можно было ожидать, что частота бракованных изделий среди них отличается от 0,02 по абсолютной величине не более чем на 0,005
Решение:
Для решения данной задачи можно использовать формулу для расчета доверительного интервала для пропорции.
Доверительный интервал для пропорции можно выразить следующим образом:
p̂ ± z * √(p̂ * (1 - p̂) / n)
где: p̂ - выборочная пропорция (частота бракованных изделий в выборке) z - значение стандартного нормального распределения для заданного уровня доверия (в данном случае 0,995) n - размер выборки
Мы хотим, чтобы разница между выборочной пропорцией и истинной пропорцией (0,02) была не более чем 0,005. То есть:
|p̂ - 0,02| ≤ 0,005
Так как мы не знаем значение выборочной пропорции, возьмем максимальное значение разницы, чтобы получить наибольший размер выборки:
0,02 + 0,005 = 0,025
Теперь мы можем использовать данное значение для расчета размера выборки:
0,025 = z * √(0,02 * (1 - 0,02) / n)
Так как мы хотим использовать уровень доверия 0,995, найдем соответствующее значение z:
z = 2,575
Теперь мы можем решить уравнение относительно n:
0,025 = 2,575 * √(0,02 * (1 - 0,02) / n)
Раскроем скобки и решим уравнение:
0,025 = 2,575 * √(0,0196 / n)
0,025 / 2,575 = √(0,0196 / n)
0,0097 = 0,1399 / n
n = 0,1399 / 0,0097
n ≈ 14,4
Таким образом, чтобы с вероятностью 0,995 можно было ожидать, что частота бракованных изделий среди выборки отличается от 0,02 по абсолютной величине не более чем на 0,005, необходимо взять минимум 15 изделий.
