По территориям региона приводятся данные за 199X г. В первом регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, 79 руб., а среднедневная заработная плата 134 руб. Во втором регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного 91 руб., а среднедневная заработная плата 154 руб. В третьем регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного 77 руб., а среднедневная заработная плата 128 руб. В четвертом регионе среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного 87 руб., а среднедневная заработная плата 138 руб. Требуется: 1 Построить линейное уравнение парной регрессии от . 2 Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. 3 Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента. 4 Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня. 5 Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал. 6 На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую
Для решения данной задачи, нам необходимо построить линейное уравнение парной регрессии, рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации, оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью критерия Фишера и критерия Стьюдента, выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал, а также построить на одном графике исходные данные и теоретическую прямую.
1. Построение линейного уравнения парной регрессии:
Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов. Пусть x - среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, а y - среднедневная заработная плата. Тогда линейное уравнение парной регрессии будет иметь вид: y = a + bx, где a - свободный член, b - коэффициент наклона.
Для нахождения a и b воспользуемся следующими формулами:
b = (Σ(xy) - (Σx)(Σy)/n) / (Σ(x^2) - (Σx)^2/n)
a = (Σy - b(Σx))/n
Где Σ обозначает сумму, n - количество наблюдений.
Подставляя значения из условия, получим:
n = 4
Σx = 79 + 91 + 77 + 87 = 334
Σy = 134 + 154 + 128 + 138 = 554
Σxy = 79*134 + 91*154 + 77*128 + 87*138 = 43372
Σ(x^2) = 79^2 + 91^2 + 77^2 + 87^2 = 21878
b = (43372 - (334*554)/4) / (21878 - (334^2)/4) ≈ 0.9305
a = (554 - 0.9305*334)/4 ≈ 32.5
Таким образом, линейное уравнение парной регрессии будет иметь вид:
y = 32.5 + 0.9305x
2. Расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации:
Для расчета линейного коэффициента парной корреляции (r) воспользуемся формулой:
r = (Σ(xy) - (Σx)(Σy)/n) / sqrt((Σ(x^2) - (Σx)^2/n) * (Σ(y^2) - (Σy)^2/n))
Где Σ обозначает сумму, n - количество наблюдений.
Подставляя значения из условия, получим:
Σ(y^2) = 134^2 + 154^2 + 128^2 + 138^2 = 82668
r = (43372 - (334*554)/4) / sqrt((21878 - (334^2)/4) * (82668 - (554^2)/4)) ≈ 0.987
Для расчета средней ошибки аппроксимации (S) воспользуемся формулой:
S = sqrt(Σ(y - y')^2/n)
Где Σ обозначает сумму, n - количество наблюдений, y - фактическое значение, y' - прогнозное значение.
Подставляя значения из условия, получим:
y1 = 134, y2 = 154, y3 = 128, y4 = 138
y'1 = 32.5 + 0.9305*79 ≈ 105.3
y'2 = 32.5 + 0.9305*91 ≈ 116.8
y'3 = 32.5 + 0.9305*77 ≈ 100.4
y'4 = 32.5 + 0.9305*87 ≈ 110.2
S = sqrt((134 - 105.3)^2 + (154 - 116.8)^2 + (128 - 100.4)^2 + (138 - 110.2)^2)/4 ≈ 12.9
3. Оценка статистической значимости параметров регрессии и корреляции:
Для оценки статистической значимости параметров регрессии и корреляции воспользуемся критерием Фишера и критерием Стьюдента.
- Критерий Фишера:
F = (r^2 * (n - 2)) / (1 - r^2)
F = (0.987^2 * (4 - 2)) / (1 - 0.987^2) ≈ 159.2
- Критерий Стьюдента:
t = b / (S/sqrt(Σ(x^2) - (Σx)^2/n))
t = 0.9305 / (12.9/sqrt(21878 - (334^2)/4)) ≈ 5.7
4. Выполнение прогноза заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня:
x' = 107% * (79 + 91 + 77 + 87)/4 ≈ 92.3
y' = 32.5 + 0.9305*92.3 ≈ 116.9
Таким образом, прогнозная заработная плата при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума, составляющем 107% от среднего уровня, будет составлять около 116.9 рублей.
5. Оценка точности прогноза, расчет ошибки прогноза и его доверительного интервала:
Для оценки точности прогноза и расчета ошибки прогноза воспользуемся формулой:
e = y - y'
Где y - фактическое значение, y' - прогнозное значение.
Подставляя значения из условия, получим:
e1 = 134 - 105.3 ≈ 28.7
e2 = 154 - 116.8 ≈ 37.2
e3 = 128 - 100.4 ≈ 27.6
e4 = 138 - 110.2 ≈ 27.8
Для расчета доверительного интервала воспользуемся формулой:
CI = y' ± t * (S/sqrt(n))
Где CI - доверительный интервал, t - значение из таблицы распределения Стьюдента для заданного уровня доверия, S - средняя ошибка аппроксимации, n - количество наблюдений.
Подставляя значения из условия, получим:
CI = 116.9 ± 2.776 * (12.9/sqrt(4))
CI ≈ 116.9 ± 2.776 * 6.45
CI ≈ 116.9 ± 17.9
Таким образом, ошибка прогноза составляет около 28.7, 37.2, 27.6 и 27.8, а доверительный интервал прогноза составляет примерно от 99 до 134 рублей.
6. Построение графика исходных данных и теоретической прямой:
На графике по оси x откладываем среднедушевой прожиточный минимум, а по оси y - среднедневную заработную плату. Затем строим точки, соответствующие исходным данным, и теоретическую прямую, полученную из линейного уравнения парной регрессии y = 32.5 + 0.9305x.
График будет выглядеть следующим образом:
(Вставить график)
Пожалуйста, обратите внимание, что в данном ответе использованы условные значения и формулы для иллюстрации процесса решения задачи. Для получения точных результатов рекомендуется использовать реальные данные и проверять результаты с помощью статистических программ или калькуляторов.
