Определите равновесный набор и максимальную полезность, если доход потребителя равен 72, цены продуктов X и Y равна 4 и 9 соответственно. Фу...
Условие:
Определите равновесный набор и максимальную полезность, если доход потребителя равен 72, цены продуктов X и Y равна 4 и 9 соответственно. Функция полезности задана формулой U=2xy^0,5
Решение:
Для определения равновесного набора и максимальной полезности, мы можем использовать условия равновесия потребителя, которые основаны на предположении о максимизации полезности при заданном доходе.
Для начала, нам нужно выразить функцию полезности U в терминах потребления продуктов X и Y. Исходя из заданной функции полезности U=2xy^0,5, мы можем записать ее в виде U=2x*y^(1/2).
Теперь мы можем сформулировать задачу максимизации полезности с ограничением на доход потребителя:
Максимизировать U = 2x*y^(1/2) при ограничении 4x + 9y = 72.
Для решения этой задачи мы можем использовать метод Лагранжа. Создадим функцию Лагранжа:
L(x, y, λ) = 2x*y^(1/2) + λ(72 - 4x - 9y).
Теперь найдем частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и λ:
∂L/∂x = 2y^(1/2) - 4λ ∂L/∂y = x/y^(1/2) - 9λ ∂L/∂λ = 72 - 4x - 9y.
Приравняем эти производные к нулю и решим полученную систему уравнений:
2y^(1/2) - 4λ = 0 (1) x/y^(1/2) - 9λ = 0 (2) 72 - 4x - 9y = 0 (3).
Из уравнения (1) получаем: 2y^(1/2) = 4λ y^(1/2) = 2λ y = 4λ^2.
Подставим это значение y в уравнение (2): x/(2λ) - 9λ = 0 x = 18λ^2.
Теперь подставим значения x и y в уравнение (3): 72 - 4(18λ^2) - 9(4λ^2) = 0 72 - 72λ^2 - 36λ^2 = 0 108λ^2 = 72 λ^2 = 2/3 λ = ±√(2/3).
Таким образом, у нас есть два возможных значения λ: √(2/3) и -√(2/3).
Подставим эти значения λ в уравнения (1) и (2), чтобы найти соответствующие значения x и y:
При λ = √(2/3): y = 4(√(2/3))^2 = 4(2/3) = 8/3 x = 18(√(2/3))^2 = 18(2/3) = 12.
При λ = -√(2/3): y = 4(-√(2/3))^2 = 4(2/3) = 8/3 x = 18(-√(2/3))^2 = 18(2/3) = 12.
Таким образом, равновесный набор продуктов X и Y будет (x, y) = (12, 8/3) или (12, 8/3).
Для определения максимальной полезности, мы можем подставить найденные значения x и y в функцию полезности U=2xy^0,5:
U = 2(12)(8/3)^(1/2) = 2(12)(4/√3) = 96/√3.
Таким образом, максимальная полезность составляет 96/√3.
