Найти максимум прибыли монополисты, если известно, что спрос на его продукцию описывается функцией Q=165-0.5P и функция общих затрат равна Т...
Условие:
Найти максимум прибыли монополисты, если известно, что спрос на его продукцию описывается функцией Q=165-0.5P и функция общих затрат равна ТС=5500+30Q+Q²
Решение:
Для определения максимальной прибыли монополиста, мы должны найти точку, в которой разница между общими доходами и общими затратами будет наибольшей.
Общий доход (TR) можно выразить как произведение цены (P) на количество проданных товаров (Q): TR = P * Q
Общие затраты (TC) состоят из постоянных затрат (FC) и переменных затрат (VC): TC = FC + VC
В данном случае, общие затраты (TC) заданы функцией: TC = 5500 + 30Q + Q²
Общий доход (TR) можно выразить через функцию спроса: TR = P * Q = (165 - 0.5P) * Q
Прибыль (π) монополиста определяется как разница между общим доходом и общими затратами: π = TR - TC
Теперь мы можем найти максимум прибыли, найдя точку, в которой производная прибыли по количеству проданных товаров равна нулю. Для этого возьмем производную прибыли по Q и приравняем ее к нулю:
dπ/dQ = d(TR - TC)/dQ = d((165 - 0.5P) * Q - (5500 + 30Q + Q²))/dQ = 0
Раскроем скобки и упростим выражение:
165 - 0.5P - 5500 - 30Q - Q² = 0
Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:
Q² + (30 + 0.5P)Q + (5500 - 165) = 0
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно Q, используя формулу дискриминанта:
D = (30 + 0.5P)² - 4(1)(5500 - 165)
Если дискриминант D > 0, то у уравнения есть два корня, и мы выбираем тот, который соответствует максимальной прибыли. Если D = 0, то у уравнения есть один корень, который также будет соответствовать максимальной прибыли.
Подставим значения в формулу дискриминанта и найдем корни уравнения. Затем выберем тот корень, который соответствует максимальной прибыли.