На координатной плоскости построен параллелограмм ABCD, в котором угол BAC = 45гралусов Найдите скалярное произведение векторов AB и AC, ес...
Условие:
На координатной плоскости построен параллелограмм ABCD, в котором угол BAC = 45гралусов Найдите скалярное произведение векторов AB и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 16
Решение:
Для решения этой задачи нам понадобятся знания о связи между площадью параллелограмма и длинами его сторон.
Площадь параллелограмма можно вычислить, используя формулу: S = |AB| * |AC| * sin(угол BAC), где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно.
Из условия задачи известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 16. Подставим это значение в формулу площади и получим:
16 = |AB| * |AC| * sin(45°)
Так как угол BAC равен 45°, то sin(45°) = 1/√2.
Теперь у нас есть уравнение:
16 = |AB| * |AC| * (1/√2)
Мы также знаем, что векторы AB и AC являются сторонами параллелограмма, поэтому их длины равны.
Обозначим длину стороны параллелограмма как a. Тогда уравнение примет вид:
16 = a * a * (1/√2)
Упростим это уравнение:
16 = a^2 * (1/√2)
Умножим обе части уравнения на √2:
16 * √2 = a^2
Теперь найдем значение a:
a^2 = 16 * √2
a = √(16 * √2)
a = √(16) * √(√2)
a = 4 * √(√2)
Таким образом, длина стороны параллелограмма равна 4 * √(√2).
Теперь мы можем найти скалярное произведение векторов AB и AC, используя формулу:
AB · AC = |AB| * |AC| * cos(угол BAC)
У нас уже есть значения |AB| и |AC| (они равны длине стороны параллелограмма), а угол BAC равен 45°.
Подставим значения в формулу:
AB · AC = (4 * √(√2)) * (4 * √(√2)) * cos(45°)
AB · AC = 16 * (√(√2))^2 * cos(45°)
AB · AC = 16 * (√2) * cos(45°)
Так как cos(45°) = 1/√2, получим:
AB · AC = 16 * (√2) * (1/√2)
AB · AC = 16
Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AC равно 16.
