Квадрат � � � � ABCD и прямоугольный треугольник � � � SBC ( ∠ � = 90 ° ) (∠B=90°) не лежат в одной плоскости. Найди градусную меру...
Условие:
Квадрат � � � � ABCD и прямоугольный треугольник � � � SBC ( ∠ �
90 ° ) (∠B=90°) не лежат в одной плоскости. Найди градусную меру угла между плоскостями треугольника и квадрата, если � �
2 � �
2 � �
8 SD=2AB=2SB=8.
Решение:
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать понятие векторного произведения и его связь с углом между плоскостями.
Векторное произведение двух векторов определяется как вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами. Модуль этого вектора равен произведению модулей векторов на синус угла между ними.
В данной задаче, мы можем использовать векторное произведение векторов AB и BC, чтобы найти вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами.
Вектор AB можно представить как разность координат векторов B и A: AB = B - A
Аналогично, вектор BC можно представить как разность координат векторов C и B: BC = C - B
Теперь мы можем вычислить векторное произведение AB и BC: AB x BC = (B - A) x (C - B)
Вычислим каждую компоненту этого векторного произведения: AB x BC = (AB.y * BC.z - AB.z * BC.y, AB.z * BC.x - AB.x * BC.z, AB.x * BC.y - AB.y * BC.x)
Заметим, что вектор AB.x = 0, так как AB лежит в плоскости XY, а вектор BC.z = 0, так как BC лежит в плоскости YZ. Поэтому, мы можем упростить выражение для векторного произведения: AB x BC = (- AB.z * BC.y, AB.x * BC.y, 0)
Теперь, мы можем найти модуль этого вектора: |AB x BC| = sqrt((- AB.z * BC.y)^2 + (AB.x * BC.y)^2 + 0^2) = sqrt((AB.z * BC.y)^2 + (AB.x * BC.y)^2) = sqrt((AB.z^2 + AB.x^2) * BC.y^2) = sqrt((2^2 + 0^2) * 8^2) = sqrt(4 * 64) = sqrt(256) = 16
Теперь, мы можем найти синус угла между плоскостями треугольника и квадрата, используя модуль векторного произведения и произведение модулей векторов: sin(θ) = |AB x BC| / (|AB| * |BC|) = 16 / (2 * 8) = 16 / 16 = 1
Наконец, мы можем найти градусную меру угла θ, используя обратную функцию синуса: θ = arcsin(1) = 90°
Таким образом, градусная мера угла между плоскостями треугольника и квадрата равна 90°.
