Квадрат
�
�
�
�
ABCD и прямоугольный треугольник
�
�
�
SBC
(
∠
�
=
90
°
)
(∠B=90°) не лежат в одной плоскости. Найди градусную меру угла между плоскостями треугольника и квадрата, если
�
�
=
2
�
�
=
2
�
�
=
8
SD=2AB=2SB=8.
Для решения данной задачи, нам понадобится использовать понятие векторного произведения и его связь с углом между плоскостями.
Векторное произведение двух векторов определяется как вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами. Модуль этого вектора равен произведению модулей векторов на синус угла между ними.
В данной задаче, мы можем использовать векторное произведение векторов AB и BC, чтобы найти вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами.
Вектор AB можно представить как разность координат векторов B и A:
AB = B - A
Аналогично, вектор BC можно представить как разность координат векторов C и B:
BC = C - B
Теперь мы можем вычислить векторное произведение AB и BC:
AB x BC = (B - A) x (C - B)
Вычислим каждую компоненту этого векторного произведения:
AB x BC = (AB.y * BC.z - AB.z * BC.y, AB.z * BC.x - AB.x * BC.z, AB.x * BC.y - AB.y * BC.x)
Заметим, что вектор AB.x = 0, так как AB лежит в плоскости XY, а вектор BC.z = 0, так как BC лежит в плоскости YZ. Поэтому, мы можем упростить выражение для векторного произведения:
AB x BC = (- AB.z * BC.y, AB.x * BC.y, 0)
Теперь, мы можем найти модуль этого вектора:
|AB x BC| = sqrt((- AB.z * BC.y)^2 + (AB.x * BC.y)^2 + 0^2)
= sqrt((AB.z * BC.y)^2 + (AB.x * BC.y)^2)
= sqrt((AB.z^2 + AB.x^2) * BC.y^2)
= sqrt((2^2 + 0^2) * 8^2)
= sqrt(4 * 64)
= sqrt(256)
= 16
Теперь, мы можем найти синус угла между плоскостями треугольника и квадрата, используя модуль векторного произведения и произведение модулей векторов:
sin(θ) = |AB x BC| / (|AB| * |BC|)
= 16 / (2 * 8)
= 16 / 16
= 1
Наконец, мы можем найти градусную меру угла θ, используя обратную функцию синуса:
θ = arcsin(1)
= 90°
Таким образом, градусная мера угла между плоскостями треугольника и квадрата равна 90°.