Пусть ξ1,…,ξ7- независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность 2/x^3 I(x≥1). Как обычно, ξ1,…,ξ7 - порядковые ста...
Условие:
Пусть ξ1,…,ξ7- независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие плотность 2/x^3 I(x≥1). Как обычно, ξ1,…,ξ7 - порядковые статистики, то есть изначальные случайные величины, упорядоченные по возрастанию ξ(1) ≤ ξ(2) ≤ … ≤ ξ(7). Найдите P(ξ(1) ≥ 2∣2 ≤ ξ(2) ≤ξ(7) ≤4). Запишите ответ в виде обыкновенной несократимой дроби a/b.
Решение:
Для решения данной задачи, нам необходимо найти условную вероятность P(ξ(1) ≥ 2 | 2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4).
Сначала найдем вероятность P(2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4). Для этого, найдем вероятность P(2 ≤ ξ(2)) и P(ξ(7) ≤ 4) и перемножим их.
P(2 ≤ ξ(2)) = 1 - P(ξ(2) < 2) P(ξ(2) < 2) = P(ξ_1 < 2, ξ_2 < 2) = P(ξ_1 < 2) * P(ξ_2 < 2) = ∫[1, 2] 2/x^3 dx * ∫[1, 2] 2/x^3 dx
Вычислим эти интегралы:
∫[1, 2] 2/x^3 dx = [-1/x^2] [1, 2] = -1/2 + 1 = 1/2 ∫[1, 2] 2/x^3 dx = [-1/x^2] [1, 2] = -1/2 + 1 = 1/2
Таким образом, P(2 ≤ ξ(2)) = 1 - (1/2 * 1/2) = 3/4
Аналогично, P(ξ(7) ≤ 4) = P(ξ_6 ≤ 4, ξ_7 ≤ 4) = P(ξ_6 ≤ 4) * P(ξ_7 ≤ 4) = ∫[1, 4] 2/x^3 dx * ∫[1, 4] 2/x^3 dx
Вычислим эти интегралы:
∫[1, 4] 2/x^3 dx = [-1/x^2] [1, 4] = -1/16 + 1/4 = 3/16 ∫[1, 4] 2/x^3 dx = [-1/x^2] [1, 4] = -1/16 + 1/4 = 3/16
Таким образом, P(ξ(7) ≤ 4) = (3/16) * (3/16) = 9/256
Теперь, найдем условную вероятность P(ξ(1) ≥ 2 | 2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4) = P(ξ(1) ≥ 2, 2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4) / P(2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4)
P(ξ(1) ≥ 2, 2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4) = P(ξ_1 ≥ 2, 2 ≤ ξ_2 ≤ ξ_7 ≤ 4) = P(ξ_1 ≥ 2) * P(2 ≤ ξ_2 ≤ ξ_7 ≤ 4) = ∫[2, ∞] 2/x^3 dx * (3/4) * (9/256)
Вычислим этот интеграл:
∫[2, ∞] 2/x^3 dx = [-1/x^2] [2, ∞] = 1/4
Таким образом, P(ξ(1) ≥ 2, 2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4) = (1/4) * (3/4) * (9/256) = 27/4096
Теперь, подставим значения в формулу условной вероятности:
P(ξ(1) ≥ 2 | 2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4) = (27/4096) / (3/4) * (9/256) = (27/4096) / (27/4096) = 1
Таким образом, P(ξ(1) ≥ 2 | 2 ≤ ξ(2) ≤ ξ(7) ≤ 4) = 1.
Ответ: a/b = 1/1.
