1. ...
  2. ...
  3. ...
  4. Решение задачи на тему: «В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Вокруг треугольника АВС описана окр...»
Решение задачи

В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Вокруг треугольника АВС описана окружность, которую биссектриса АК пересекает в точке D. Доказа...

Международные отношения

Условие:

В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Вокруг треугольника АВС описана окружность, которую биссектриса АК пересекает в точке D. Доказать AD > AB+ AC/2

Решение:

Для доказательства неравенства AD > AB + AC/2 воспользуемся неравенством треугольника.

Известно, что в треугольнике ABC биссектриса AK делит сторону BC на отрезки BK и KC в пропорции, соответствующей отношению длин смежных сторон AB и AC. То есть, AB/AC = BK/KC.

Также известно, что точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC. Значит, угол BDC является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках B и C. То есть, угол BDC = 2 * угол BAC.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике угол BAD является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках B и C. То есть, угол BAD = угол BAC + угол ABC.

Таким образом, угол BDC = 2 * угол BAD.

Теперь применим неравенство треугольника к треугольнику ABD:

AD > AB + BD.

Заметим, что BD является дугой BC на описанной окружности, а значит, ее длина равна углу BDC, умноженному на радиус окружности.

Так как угол BDC = 2 * угол BAD, то BD = 2 * угол BAD * R, где R - радиус описанной окружности.

Таким образом, AD > AB + 2 * угол BAD * R.

Но мы знаем, что угол BAD = угол BAC + угол ABC, поэтому:

AD > AB + 2 * (угол BAC + угол ABC) * R.

Теперь заметим, что угол ABC является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках A и C. То есть, угол ABC = угол BAC + угол ACB.

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 2 * (угол BAC + (угол BAC + угол ACB)) * R.

Упростим:

AD > AB + 2 * (2 * угол BAC + угол ACB) * R.

Теперь заметим, что угол ACB является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках A и B. То есть, угол ACB = угол BAC + угол ABC.

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 2 * (2 * угол BAC + (угол BAC + угол ABC)) * R.

Упростим:

AD > AB + 2 * (3 * угол BAC + угол ABC) * R.

Теперь заметим, что угол ABC является внешним по отношению к треугольнику ABC, а значит, он равен сумме внутренних углов треугольника в точках A, B и C. То есть, угол ABC = угол BAC + угол BCA.

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 2 * (3 * угол BAC + (угол BAC + угол BCA)) * R.

Упростим:

AD > AB + 2 * (4 * угол BAC + угол BCA) * R.

Теперь заметим, что угол BCA является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он равен 180 градусов минус сумма углов BAC и ABC. То есть, угол BCA = 180 - (угол BAC + угол ABC).

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 2 * (4 * угол BAC + (180 - (угол BAC + угол ABC))) * R.

Упростим:

AD > AB + 2 * (3 * угол BAC + 180 - угол BAC - угол ABC) * R.

AD > AB + 2 * (2 * угол BAC + 180 - угол ABC) * R.

AD > AB + 4 * угол BAC * R + 2 * 180 * R - 2 * угол ABC * R.

AD > AB + 4 * угол BAC * R + 360 * R - 2 * угол ABC * R.

AD > AB + 4 * угол BAC * R - 2 * угол ABC * R + 360 * R.

AD > AB + 2 * (2 * угол BAC - угол ABC) * R + 360 * R.

Теперь заметим, что угол BAC и угол ABC являются внутренними углами треугольника ABC, а значит, их сумма равна 180 градусов. То есть, угол BAC + угол ABC = 180.

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 2 * (2 * угол BAC - (180 - угол BAC)) * R + 360 * R.

Упростим:

AD > AB + 2 * (3 * угол BAC - 180) * R + 360 * R.

AD > AB + 6 * угол BAC * R - 360 * R + 360 * R.

AD > AB + 6 * угол BAC * R.

Теперь заметим, что угол BAC является внутренним углом треугольника ABC, а значит, он меньше 180 градусов. То есть, угол BAC < 180.

Подставим это в неравенство:

AD > AB + 6 * 180 * R.

AD > AB + 1080 * R.

Таким образом, мы доказали, что AD > AB + 1080 * R.

Однако, чтобы доказать неравенство AD > AB + AC/2, нам необходимо знать, как связаны радиус описанной окружности R и длины сторон треугольника ABC.

Поэтому, чтобы доказать данное неравенство, нам необходимо дополнительная информация о треугольнике ABC.

Похожие работы

Попробуй и другие функции

  • ИИ для любых учебных целей

    • Научит решать задачи

    • Поможет решать задачи

    • Исправит ошибки в решении

    • Ответит на вопросы за минуту

    Попробовать
  • База готовых рефератов

    • Свыше 1,2 млн работ

    • Больше 160 предметов

    • Работы написали студенты вместе с AI

    • База ежедневно обновляется

    Попробовать

Решения по другим предметам