В треугольнике АВС АВ = ВС = 6 см, <В = 40°. Найди-те: 1) сторону АС; 2) высоту АД; 3) медиану АМ; 4) бис-сектрису ВК: 5) радиус описанной о...
Условие:
В треугольнике АВС АВ = ВС = 6 см, <В = 40°. Найди-те: 1) сторону АС; 2) высоту АД; 3) медиану АМ; 4) бис-сектрису ВК: 5) радиус описанной окружности тре-угольника ABC: 6) радиус вписанной окружности тре-угольника АВС.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов и теоремой косинусов.
-
Для нахождения стороны АС воспользуемся теоремой синусов: Согласно теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно одному и тому же отношению для других сторон и углов треугольника. Таким образом, мы можем записать: AC / sin(<B) = AB / sin(<C) Подставляя известные значения, получаем: AC / sin(40°) = 6 / sin(180° - 40° - 40°) AC / sin(40°) = 6 / sin(100°) AC = (6 * sin(40°)) / sin(100°) AC ≈ 4.29 см
-
Для нахождения высоты АД воспользуемся теоремой синусов: Согласно теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно одному и тому же отношению для других сторон и углов треугольника. Таким образом, мы можем записать: AD / sin(<C) = AB / sin(<B) Подставляя известные значения, получаем: AD / sin(100°) = 6 / sin(40°) AD = (6 * sin(100°)) / sin(40°) AD ≈ 8.81 см
-
Для нахождения медианы АМ воспользуемся теоремой косинусов: Согласно теореме косинусов, квадрат длины медианы равен сумме квадратов половин длин двух сторон, из которых она проведена, минус квадрат половины третьей стороны. Таким образом, мы можем записать: AM^2 = (1/2 * AB)^2 + (1/2 * AC)^2 - (1/2 * BC)^2 Подставляя известные значения, получаем: AM^2 = (1/2 * 6)^2 + (1/2 * 4.29)^2 - (1/2 * 6)^2 AM ≈ 3.57 см
-
Для нахождения биссектрисы ВК воспользуемся теоремой синусов: Согласно теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно одному и тому же отношению для других сторон и углов треугольника. Таким образом, мы можем записать: VK / sin(<B) = BC / sin(<C) Подставляя известные значения, получаем: VK / sin(40°) = 6 / sin(100°) VK = (6 * sin(40°)) / sin(100°) VK ≈ 3.43 см
-
Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника ABC воспользуемся формулой: R = (a * b * c) / (4 * S), где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника. Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона: S = sqrt(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)), где p - полупериметр треугольника. Подставляя известные значения, получаем: p = (AB + AC + BC) / 2 = (6 + 4.29 + 6) / 2 = 8.14 S = sqrt(8.14 * (8.14 - 6) * (8.14 - 4.29) * (8.14 - 6)) ≈ 12.88 R = (6 * 4.29 * 6) / (4 * 12.88) ≈ 3.15 см
-
Для нахождения радиуса вписанной окружности треугольника ABC воспользуемся формулой: r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. Подставляя известные значения, получаем: r = 12.88 / 8.14 ≈ 1.58 см
Таким образом, ответы на задачу:
- Сторона АС ≈ 4.29 см
- Высота АД ≈ 8.81 см
- Медиана АМ ≈ 3.57 см
- Биссектриса ВК ≈ 3.43 см
- Радиус описанной окружности треугольника ABC ≈ 3.15 см
- Радиус вписанной окружности треугольника АВС ≈ 1.58 см
