В равнобедренном треугольнике АВС АС=ВС= a, угол BAC = 30°, отрезок СМ - перпендикуляр к плоскости АВС, СМ = a√2. Найдите тангенс двугранног...
Условие:
В равнобедренном треугольнике АВС АС=ВС= a, угол BAC = 30°, отрезок СМ - перпендикуляр к плоскости АВС, СМ = a√2. Найдите тангенс двугранного угла МАВС и угол между прямой АМ и плоскостью МВС. (tgB = 2√2, a= 45°)
Решение:
Для нахождения тангенса двугранного угла МАВС воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, согласно которому основание угла равно половине основания треугольника. Таким образом, длина основания треугольника АВС равна 2a.
Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае противолежащим катетом является отрезок СМ, а прилежащим катетом - отрезок АМ. Так как СМ = a√2, а АМ = a, то тангенс угла B равен a√2 / a, что равно √2.
Теперь рассмотрим угол между прямой АМ и плоскостью МВС. Этот угол можно найти с помощью формулы, связывающей угол между прямой и плоскостью с нормалью плоскости и направляющим вектором прямой.
Нормаль к плоскости МВС можно найти как векторное произведение векторов МС и МВ. Вектор МС можно представить как разность векторов СМ и СВ, а вектор МВ - как разность векторов ВМ и ВС. Таким образом, получаем:
МС = СМ - СВ = a√2 - a = a(√2 - 1) МВ = ВМ - ВС = a - a = 0
Теперь можем найти нормаль к плоскости МВС:
Нормаль = МС x МВ = (a(√2 - 1)) x 0 = 0
Так как нормаль равна нулю, то угол между прямой АМ и плоскостью МВС равен 90°.
Таким образом, тангенс двугранного угла МАВС равен √2, а угол между прямой АМ и плоскостью МВС равен 90°.