В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD на боковых рёбрах SA и SB взяты соответственно точки М и N такие, что SM = MA, SN : NB = 1 : 2. ...
Условие:
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD на боковых рёбрах SA и SB взяты соответственно точки М и N такие, что SM = MA, SN : NB = 1 : 2. а) Докажите, что плоскость CN™ параллельна ребру SD.
Решение:
Для доказательства параллельности плоскости CN™ и ребра SD воспользуемся свойствами правильной четырёхугольной пирамиды.
Поскольку пирамида SABCD является правильной, то все её боковые грани равны и равны основанию ABCD. Поэтому треугольники SAM и SBN равнобедренные, так как SM = MA и SN = NB.
Также, поскольку SN : NB = 1 : 2, то отношение длин сторон треугольников SAM и SBN равно 1 : 2. Это означает, что углы MSN и MNB равны.
Теперь рассмотрим треугольники MSN и MNB. У них углы MSN и MNB равны, а угол SMN общий. Поэтому эти треугольники подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что отношение длин сторон SM и MN равно отношению длин сторон MN и NB, то есть 1 : 2.
Таким образом, получаем, что отношение длин сторон SM и MN равно 1 : 2, а отношение длин сторон MN и NB также равно 1 : 2. Это означает, что треугольники SMN и MNB подобны.
Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, N и B. Поскольку треугольники SMN и MNB подобны, то плоскость, проходящая через эти точки, параллельна плоскости SAB.
Также, поскольку плоскость SAB параллельна плоскости ABCD (так как пирамида SABCD правильная), то плоскость, проходящая через точки M, N и B, также параллельна плоскости ABCD.
Наконец, поскольку ребро SD лежит в плоскости ABCD, а плоскость, проходящая через точки M, N и B, параллельна плоскости ABCD, то она также параллельна ребру SD.
Таким образом, мы доказали, что плоскость CN™ параллельна ребру SD.
