В четырехугольнике ABCD точки M и N - середины сторон A и B соответственно. Прямые AD и BC пересекают прямую MN соответственно в точках P и ...
Условие:
В четырехугольнике ABCD точки M и N - середины сторон A и B соответственно. Прямые AD и BC пересекают прямую MN соответственно в точках P и Q. Углы BQM и APM равны. Известно, что AD = 7. Найдите BC.
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллельных прямых, пересекающихся третьей прямой.
Поскольку точки M и N являются серединами сторон A и B соответственно, то отрезок MN является медианой треугольника ABC. По свойству медианы, точка P делит отрезок AD в отношении 1:2, а точка Q делит отрезок BC в том же отношении 1:2.
Обозначим отрезок AD как x. Тогда отрезок PD равен x/3, а отрезок AP равен 2x/3. Аналогично, отрезок BQ равен BC/3, а отрезок CQ равен 2BC/3.
Так как углы BQM и APM равны, то треугольники BQM и APM подобны. Поэтому отношение длин отрезков BQ и CQ равно отношению длин отрезков AP и PD:
BC/3 : 2BC/3 = 2x/3 : x/3
Упрощая это уравнение, получаем:
1 : 2 = 2 : 1
Таким образом, BC равно 2 * AD, то есть BC = 2 * 7 = 14.
