В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высо...
Условие:
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону где t − время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, − начальная высота столба воды, − отношение площадей поперечных сечений крана и бак
Решение:
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать закон Торричелли, который описывает вытекание жидкости из отверстия в сосуде.
Согласно закону Торричелли, скорость вытекания жидкости из отверстия пропорциональна квадратному корню из высоты столба жидкости над отверстием. То есть, скорость вытекания можно выразить следующим образом:
v = k * sqrt(h)
где v - скорость вытекания, k - коэффициент пропорциональности, h - высота столба жидкости над отверстием.
Так как в данной задаче высота столба воды меняется со временем, мы можем записать следующее дифференциальное уравнение:
dh/dt = -k * sqrt(h)
где dh/dt - производная высоты столба воды по времени.
Данное уравнение можно решить методом разделения переменных:
dh/sqrt(h) = -k * dt
Интегрируя обе части уравнения, получим:
2 * sqrt(h) = -k * t + C
где C - постоянная интегрирования.
Исходя из начальных условий, когда t = 0, h = h0, мы можем найти значение постоянной C:
2 * sqrt(h0) = C
Теперь мы можем выразить высоту столба воды h в зависимости от времени t:
2 * sqrt(h) = -k * t + 2 * sqrt(h0)
sqrt(h) = -k/2 * t + sqrt(h0)
h = (-k/2 * t + sqrt(h0))^2
Таким образом, мы получили выражение для высоты столба воды в баке в зависимости от времени.