Три числа утворюють геометричну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 63, а сума їх квадратів дорівнює 1701. Знайдіть два наступні члени цієї п...
Условие:
Три числа утворюють геометричну прогресію. Сума цих чисел дорівнює 63, а сума їх квадратів дорівнює 1701. Знайдіть два наступні члени цієї прогресії .
Решение:
Давайте обозначим эти три числа как a, ar и ar^2, где a - первый член прогрессии, а r - ее знаменатель (отношение между соседними членами).
Из условия задачи у нас есть два уравнения:
a + ar + ar^2 = 63 (1) a^2 + (ar)^2 + (ar^2)^2 = 1701 (2)
Давайте решим первое уравнение относительно a:
a(1 + r + r^2) = 63 a = 63 / (1 + r + r^2)
Подставим это значение a во второе уравнение:
(63 / (1 + r + r^2))^2 + (63r / (1 + r + r^2))^2 + (63r^2 / (1 + r + r^2))^2 = 1701
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
3969 / (1 + 2r + 3r^2 + 3r^3 + 3r^4 + r^6) + 3969r^2 / (1 + 2r + 3r^2 + 3r^3 + 3r^4 + r^6) + 3969r^4 / (1 + 2r + 3r^2 + 3r^3 + 3r^4 + r^6) = 1701
Упростим уравнение:
3969 + 3969r^2 + 3969r^4 = 1701 + 3402r^2 + 5103r^4 + 5103r^6
5103r^6 + 1134r^4 + 943r^2 - 2268 = 0
Это уравнение шестой степени, которое можно решить численно или приближенно. Однако, для нахождения двух следующих членов прогрессии нам не требуется точное решение уравнения.
Мы можем использовать первое уравнение (1) и выразить a через r:
a = 63 - ar - ar^2
Теперь, зная a, мы можем найти следующие два члена прогрессии:
ar^3 = a * r^3 ar^4 = a * r^4
Таким образом, два следующих члена прогрессии равны a * r^3 и a * r^4.
