Точки `M` и `N` - середины сторон `AB` и `BC` треугольника `ABC` соответственно. Точка `D` лежит на отрезке `AB`, причём `AD:DB=2:3`. Прямые...
Условие:
Точки M и N - середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Точка D лежит на отрезке AB, причём AD:DB=2:3. Прямые CD и MN пересекаются в точке P. Найдите отношение площади треугольника CPN к площади треугольника ABC
Решение:
Для решения этой задачи воспользуемся свойством, что середины сторон треугольника делят их в отношении 1:1.
Пусть E - середина стороны AC. Тогда, так как M и N - середины сторон AB и BC соответственно, то точка E также является серединой стороны MN.
Так как D лежит на отрезке AB и AD:DB=2:3, то можно сказать, что точка D делит отрезок AB в отношении 2:3. То есть, AD составляет 2/5 от длины AB, а DB - 3/5 от длины AB.
Теперь рассмотрим треугольник CDE. Так как E - середина стороны AC, а D делит отрезок AB в отношении 2:3, то можно сказать, что DE также делит сторону AC в отношении 2:3.
Теперь рассмотрим треугольник CPN. Так как E - середина стороны MN, а DE делит сторону AC в отношении 2:3, то можно сказать, что PE делит сторону CD в отношении 2:3.
Таким образом, отношение площади треугольника CPN к площади треугольника ABC равно отношению площади треугольника PEM к площади треугольника EAC.
Поскольку PE делит сторону CD в отношении 2:3, а DE делит сторону AC в отношении 2:3, то можно сказать, что PE и DE параллельны и их длины соотносятся также как их отношение, то есть 2:3.
Таким образом, площадь треугольника PEM равна 2/3 от площади треугольника EAC.
Известно, что середины сторон треугольника делят его на 4 равных треугольника. То есть, площадь треугольника EAC равна 4/9 от площади треугольника ABC.
Таким образом, отношение площади треугольника CPN к площади треугольника ABC равно (2/3) / (4/9) = 3/2.
Ответ: Отношение площади треугольника CPN к площади треугольника ABC равно 3/2.
