\sum_(n=1)^(\infty ) (x-2)^(n)(1)/(n^(2))
Условие:
\sum_(n=1)^(\infty ) (x-2)^(n)(1)/(n^(2))
Решение:
Данная сумма представляет собой ряд с общим членом (x-2)^n/n^2. Чтобы определить, при каких значениях x этот ряд сходится, мы можем использовать тест сравнения.
Сравним данный ряд с рядом \sum_(n=1)^(\infty ) (1/n^2). Если мы можем показать, что ряд (1/n^2) сходится, то ряд (x-2)^n/n^2 также будет сходиться в тех же точках.
Ряд (1/n^2) является известным рядом, который сходится. Он называется рядом Базеля. Таким образом, мы можем сделать вывод, что ряд (x-2)^n/n^2 будет сходиться в тех же точках, где ряд Базеля сходится.
Ряд Базеля сходится для всех x, кроме x=2. Поэтому ряд (x-2)^n/n^2 будет сходиться для всех x, кроме x=2.
Однако, чтобы определить, сходится ли ряд (x-2)^n/n^2 в точке x=2, нам нужно провести дополнительные исследования. Мы можем использовать, например, тест отношения или тест корня, чтобы проверить сходимость в этой точке.
Таким образом, ряд (x-2)^n/n^2 сходится для всех x, кроме x=2, и требуется дополнительное исследование для определения сходимости в точке x=2.
